曉蜜蜂 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

超難積分2

我想知道詳細過程(從0積到無限J0(x)dx)

BESSEL[0,x]dx

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可用laplace做也可以

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    設J_0(x)=J(x), 則J(0)=1, J'(0)=0, 且x J"+J'+x J=0

    取Laplace得 -(s^2 Y- s -0)' + (sY-1) - Y'=0

    -(s^2+1)Y'-sY=0,

    Y'/Y= -s/(s^2+1)

    兩邊積分得 ln(Y)= -0.5 ln(s^2+1)+c

    故Y= C/√(s^2+1)

    又 lim(s->∞) [sY(s)]= J(0+)= 1

    則 lim(s->∞) [Cs/√(s^2+1)]= 1, 得C=1, Y=1/√(s^2+1)

    ∫[0~∞] J(x)dx = Y(0)

    註: Y(s)= ∫[0~∞] J(x)exp(-sx) dx , 故Y(0)= ∫[0~∞] J(x)dx

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