星痕之淚 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

幫解一題二階ode!!

題目是:

x^2(x^2+1)y"-x(2+4x+x^2)y'(2+4x+x^2)y=-x^4-2x^3

請幫忙解答!

要詳解喔!!

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不好意思

題目應該是x^2(x^2+1)y"-x(2+4x+x^2)+y'(2+4x+x^2)y=-x^4-2x^3

2 個已更新項目:

請大家幫忙,謝謝!!!

3 個已更新項目:

謝謝小魚的解惑!!

我知道怎麼算了!

2 個解答

評分
  • 小魚
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    y' & y 項之間有打錯嗎 ?

    2010-12-08 21:16:10 補充:

    題目應該是

    x^2*(x+1)*y"-x*(2+4*x+x^2)*y'+(2+4*x+x^2)*y=-x^4-2*x^3

    解才會是

    y = x*[c1 + c2*x*exp(x) + x]

    2010-12-09 22:39:29 補充:

    x^2*(x+1)*y"-x*(2+4*x+x^2)*y'+(2+4*x+x^2)*y=-x^4-2x^3 .... (1)

    令 p = exp( ∫ {-x*(2+4*x+x^2)/[x^2*(x+1)]}dx ) = exp(-x)*x^(-2)*(x+1)^(-1)

    且 w = y*p^(1/2) , 則 (1) 會變成

    4*(x+1)^2*w" - (x^2+4*x+6)*w = -4*(x+1)^(1/2)*(x+2)*exp(-x/2) .... (2)

    求解(2)得

    w = exp(-x/2)*(x+1)^(1/2)*(c1 + c2*x*exp(x) + x)

    y = w*p^(-1/2) = x*(c1 + c2*x*exp(x) + x)

  • 1 0 年前

    圖片參考:http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpa...

    參考資料:

    my maths knowledge

    2010-12-09 15:45:27 補充:

    是x²(x² + 1)y" - x(2 + 4x + x²)y' + (2 + 4x + x²)y = - x^4 - 2x³還是x²(x + 1)y" - x(2 + 4x + x²)y' + (2 + 4x + x²)y = - x^4 - 2x³又有甚麼所謂?反正兩者的解題方法是完全一樣的,第1解永遠都是這樣子,問題只欠在第2解和非齊性的樣子和那兩者的integral是否能化簡。

    2010-12-09 15:45:49 補充:

    我不像有不少人認為integral一定要能夠解決才罷休,總是容不下以integral作為答案。事實上解任何de的重點都不是在化簡integral,最重要的是微分符號如何變成沒有的過程。難度就好像http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

    2010-12-09 16:06:37 補充:

    事實上,在微分方程的世界裡,有積分形式的解都已算是幸運的事,你知不知道例如Mathieu equation、Heun's equation、http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

    2010-12-09 16:07:01 補充:

    又例如http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0503....

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