孤傲君 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

實分析(證明題)有關於非負的可積simple函數

If f is a nonnegative integrable simple function and ∫fdu=0,then f=0 a.e.

1 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    先證一個性質: f is nonegative measurable function and ∫_Afdu=0 for every measurable set , then f=0 a.e

    proof Let E={x: f(x)>0}, E_n={x: f(x)>1/n)} then E=∪E_n 且 E_n is 是遞增的可測集合列

    故(1/n)m(E_n)=∫_E_n 1/ndu<∫_E_n fdu<=∫fdu=0 for all n

    =>m(E_n)=0 for all n

    =>m(E)=0

    所以 f=0 a.e

    because f is nonegative integrable simple function for every measurable set F

    0<=∫_Ffdu<=∫fdu=0

    =>∫_Ffdu=0

    故由以上的性質 f=0 a.e

    參考資料: 以前所學
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