wendy 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

有關:等比級數的問題

Q1.設甲某鎮每年的人口逐漸成長,且成一等比數列,已知此鎮十年前有25萬人,

現在有30萬人,那麼二十年後,此鎮人口應有幾人?

Q2.一皮球字離地面10公尺高處落下,手次反彈高度為10/3公尺,此後每次反彈

高度為其前次反彈高度的1/3,擇此求到完全靜止前,所經過的路徑總長度為?

(要詳細一點!)

Q3.有一個無窮等比級數,其和為8/9,第四項為3/32,已知公比為一有理數列,

則當公比以最簡分數表示時,分母為?

Q4.設a與b均為實數.若a/2的1次方 + b/2的2次方 + a/2的3次方 +

b/2的4次方 +......+ a/2的2n-1次方 + b/2的2n次方+.......=3,

則2a+b=?

在此先感謝您的細心解答!!!

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  • 1 0 年前
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    Q1.設甲某鎮每年的人口逐漸成長,且成一等比數列,已知此鎮十年前有25萬人,

    現在有30萬人,那麼二十年後,此鎮人口應有幾人?

    令每十年為一公比=r 所以a1=十年前=25, a2=今年=30r=a2/a1=6/5

    所以二十年後 = a4 = a1 * r^3 = 25 * 216/125 = 43.2 (萬人)

    Q2.一皮球字離地面10公尺高處落下,手次反彈高度為10/3公尺,此後每次反彈

    高度為其前次反彈高度的1/3,擇此求到完全靜止前,所經過的路徑總長度為?

    (要詳細一點!)因先從高觸落下再反彈所以路線會重複一次 則第一次丟下的不會重複 [每次的高度會比上一次的距離來得短]原式 10 + 2 * (10/3 + [10/3 * (1/3)^2] + [10/3 * (1/3)^3] + ......+ 10/3 * (1/3)^n])

    =10 + 2 * [(10/3) / (1-(1/3))

    =10 + 2 * 5

    =20

    Q3.有一個無窮等比級數,其和為8/9,第四項為3/32,已知公比為一有理數列,

    則當公比以最簡分數表示時,分母為?令首項為a,公比為ra/(1-r)=8/9

    =>a = (1-r) * 8/9..(1)a4=a*r^3=3/32....(2)將(1)帶入(2) 得 (1-r)r^3 = 9/8 * 3/32 [先注意一下數字的關係,有沒有發現分子是27=3^3]

    變化一下得

    (1-r)r^3 = (1/4) * (3/4)^3

    左右是比較一下 1/4 = 1 - (3/4) 得 r=3/4

    所以分母為4

    Q4.設a與b均為實數.若a/2的1次方 + b/2的2次方 + a/2的3次方 +

    b/2的4次方 +......+ a/2的2n-1次方 + b/2的2n次方+.......=3,

    則2a+b=?a/2的1次方 + b/2的2次方 + a/2的3次方 + b/2的4次方 +......+ a/2的2n-1次方 + b/2的2n次方+.......=3

    會發現第一 三 五 七 ...都是a,二 四 六 八.....都是b

    你可以把同樣的放一起在用無窮等比求合 或是將 a.b 視為一項求合都可我用第二個方式去做比較一下 看出公比都是2的2次方所以 r=1/4

    a/(1-r) = (a/2的1次方 + b/2的2次方) / (1-1/4) = 3

    = (a/2 + b/4) / (3/4) = 3

    = 2a+b = 3*3

    = 9

    參考資料: me
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