高一數與座標系兩題

Question

一、若a=2^2001+3^2001+^5^2001，怎麼算出除於九的餘數為七？ a的個位數字？
二、在坐標平面上，一直線L通過定點A(0,根號2)。則在L上的點為有理數對(即其x，y坐標值為有理數)，可能有多少個？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)無限多

請給我詳細的解答，謝謝！

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一、若a=2^2001+3^2001+5^2001，怎麼算出除以9的餘數為7？a的個位數字？1)2^2001=8^667=(9-1)^667≡-1≡8 (mod 9)3^2001=3*9^1000≡0 (mod 9)5^2001=(125)^667=(7*18-1)^667≡-1≡8(mod 9)8+0+8=16≡7(mod 9) 2)2的整數次方的個位數2,4,8,6,2,4,8,6….第2001個為23的整數次方的個位數3,9,7,1,3,9,7,6….第2001個為35的整數次方的個位數5,5,5,….第2001個為52+3+5=10個位數字為0
二、在坐標平面上，一直線L通過定點A(0,根號2)。則在L上的點為有理數對(即其x，y坐標值為有理數)，可能有多少個？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)無限多y=m x+√2x=(y-√2)/m若1/m = (y+√2)(共軛)，x便可為有理數如y=1,1/m=(1+√2)y=2, 1/m=(2+√2)….…..故有無窮多組

2011-05-02 16:27:33 補充：
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=2199

2011-05-03 12:04:15 補充：
二、
若L為固定斜率，且通過定點A(0,根號2)。
那這條線上，就只有一點
比如，1/m = (1+√2) (固定)
那麼
x=(y-√2)(1+√2)=(y-2)+(y-1)√2 要為有理數
所以 (y-1)=0,y=1,x=-1
所以只有一組解。
也就是某個斜率，最多只有一組有理數對。
(題目應該是這個意思才對)

2011-05-03 14:07:37 補充：
補充的會自動消失
寫在這邊

如果題目要是指，某一條固定斜率的直線，比如1/m=1+√2
則
x=(y-√2)(1+√2)
x=(y-2)+(y-1)√2
(x,y)為有理數， 所以 y-1=0,
x=-1,y=1
1/m=1+√2，這條線上，只有這個有理數對。
答案為1組解。

2011-05-03 18:08:18 補充：
但，若m為有理數，且x亦為有理數
則，y=mx+√2
y必為無理數。
因此 無有理數對

答案應該是 0 或 1

2011-05-04 11:58:22 補充：
y=m x+√2
若 m (斜率) 為有理數，且 x 為有理數
則 y 必為無理數 (有理數 + 有理數 =有理數)(有理數 + 無理數 = 無理數)
所以 此斜率下的直線L 無 有理數對

因此 答案是 1 或 0 個

高一數與座標系兩題

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