sky - ccc 發問時間: 科學數學 · 10 年前

關於級數解 的解法問題

請問現在有一個函數

y''+p(x)y'+q(x)y=0

如果p與 x可解析,而且需在y''=1

的情況下

則稱為常點,以x=0展開

就可以用冪級數等解法

但如果有另一函數

為xp(x) x^2(x) 可解析

稱為規則異點

但今天有函數

xy'-3y=6

這看起來是規則異點

(好像可以用Frobenius解法?)

但是書上說可以平移

之後再用冪級數

另t=x-1

(t+1)y'-3y=6

可是這樣不就無法滿足常點定義?

我本身有個想法不知道對不對

因為平移

所以收斂半徑

lxl < 1

所以在x=1外的點都是常點都可解析

是這樣嗎? 請大家幫忙一下

1 個解答

評分
  • 10 年前
    最佳解答

    諸多錯誤釐清之後觀念就清楚了.

    如果p與 x可解析-->如果p與 q可解析

    而且需在y''=1的情況下--->而且需在y''的係數=1的情況下

    則稱為常點--->則x=0稱為常點

    但如果有另一函數為xp(x) x^2(x) 可解析稱為規則異點---->

    但如果有另一函數為xp(x) x^2q(x) 可解析,稱x=0為規則異點

    xy'-3y=6這看起來是規則異點

    的確在x=0是規則異點

    但是書上說可以平移之後再用冪級數

    平移之後中心點就不再是原點,或平移之後的新中心點就不再是規則異點

    t=x-1 , (t+1)y'-3y=6可是這樣不就無法滿足常點定義?

    這已變成求y=y(t)的方程,在t=0是常點相當於原方程在x=1是常點

    在t=-1是異點相當於原方程在x=0是異點

    因為平移所以收斂半徑lxl < 1所以在x=1外的點都是常點都可解析

    --->因為平移所以收斂半徑ltl < 1所以在x=0外的點都是常點都可解析

    簡言之x=a 是某方程的常點或異點與方程和點a密切相關否則在判斷上會自亂陣腳

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