鶴冥 發問時間: 科學數學 · 10 年前

微積分問題 請大家幫幫忙

1.lim x趨近無限大 (x^(3/2))*((x+2)^1/2-2(x+1)^(1/2)+x^(1/2))

2.Let f(x) be a differentiable function on R satisfying

f(x^2)=1+((f(y)*(1+tany))從0積分到x^2)

for all x屬於R Then f(pi)=???

請大家幫幫忙??

1 個解答

評分
  • 10 年前
    最佳解答

    1. 令 t= 1/x, 則

    原limit= lim(t->0) [√(1+2t) - 2√(1+t) +1]/t^2

    =lim(t->0) [ 1+ t - t^2 /2 +... - 2(1+ t/2- t^2/8)+ 1]/t^2

    =lim(t->0) [ (-1/4)t^2+...]/t^2

    = -1/4

    Note: (1+x)^a= 1+ax+a(a-1)/2 x^2 + ..., for |x|<1

    2.

    原式x^2改為t, 得 f(t)=1+∫[0~t] [f(y)(1+tany) dy]

    則 f(0)=1, 且

    f'(t)= f(t)(1+tant), 即f'(t)/f(t)= 1+ tant

    對t積分得 ln|f(t)| = t+ ln|sect|+c

    則 f(t)=C e^t* sect, 又f(0)=1, 則 f(t)=e^t * sect

    令 t=π, 故 f(π)= - e^π

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