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線積分(內含偏微)
先謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答
小弟還是不太明白
(1)第一行的化簡我就看不太懂了
ds要怎樣和dy和dx搭上關係
(2)C本題是逆時鐘那積分正負要怎麼定
(3)(By Green's thm or Stokes thm)
(a)可以請問Green's thm 的使用時機?為何本題可用?
<--直接套可算出後面的,但不知道為什麼可用?
(b)可以請問Stokes thm的使用時機?(而且不是有三種形式怎知用那個)為何本題又可用?
<---∫∫(▽×F)●ndA=∫F●dr那該如何用這個求出結果
以上問題煩請解惑!謝謝!
先謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答
小弟還是不太明白
1. n ds與切向量(dx,dy)垂直,向右轉90度, 故 n ds=(dy, -dx)
這句話我不太懂,題目也沒給x和y座標,而且取到不同點會影響結果嗎
向右轉90度我也不太懂
∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)∙(dy, -dx)
<----w對n偏微怎麼轉到x和y呢?
2.
你說3.(a)兩定理的使用時機: vector filed為piecewise diff. 且曲線為piecewise smooth
<--可以請你就本題說明vector filed是指什麼?piecewise diff.要怎麼確定?
曲線為piecewise smooth要怎麼看?
3.
將xy平面曲線,視為空間曲線(但z=0),則Green為Stokes的特例
<--可是這兩個公式不是不一樣,可以請你用Stokes thm算給我看嗎
ps:
Stokes thm的三種形式何所指?
(a)
∫et●Fds=∫∫(n×▽)●FdA
(b)
∫et×Fds=∫∫(n×▽)×FdA
(c)
∫etBds=∫∫(n×▽)BdA
<----我也不知為何要有這三個
(煩惱即是菩提知識長)你看得出這三個有什麼用處嗎?
先謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答
小弟還是不太明白
1. ∂w/∂n表沿法向量n的方向導數, 故∂w/∂n=grad(w)．n
又切向量=(dx, dy)改為複數(方便旋轉)得 dx+i dy, 順時針(因逆時針方向)轉90度得
(dx+i dy)*(-i)= dy - i dx, 故法向量n=(dy, -dx),與取點無關
---->
(a)
為何可以看出是沿法向量n的方向導數,方向導數的浮號不是全微分嗎?
為何這邊是偏微分?也就是方向導數是怎麼判斷出來的?
(b)
還有切向量,怎又順時針(因逆時針方向)轉90度得法向量?
這邊完全是霧煞煞可以再說簡單一點嗎?還有你的x和y座標怎麼定的?
可以用文字說明一下圖形嗎?
2(-3x^2+3y^2-2y, 6xy)為可微分函數
跟包含的點有關嗎?可不可以舉不可微分函數的例子
3.
向量(M(x,y), N(x,y), 0), 空間線積分∫_C (M dx+N dy+0 dz)
(Stokes thm)=∫∫_S curl(M,N,0)．n dS = ∫∫_S (0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y)．(0, 0, dxdy)
=∫∫_S (∂N/∂x-∂M/∂y) dxdy 即得Green's thm
----->這兩項怎麼求的
(a)curl(M,N,0)= (0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y)
(b)n dS=(0, 0, dxdy)
以上問題煩請解惑!謝謝!
謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答,你太神了
不過小弟還是有疑問想請教
(1)∂w/∂n為何不能寫成dw/dn表示成方向導數
像我看書上如f向量在某點e方向的方向導數
df/ds(e方向),這邊改成偏微我就不太清楚了
(2)
你說:切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針
旋轉90度(OK!?),故法向量為(-dy/dt, dx/dt)
--->這邊我想請問若是逆時針旋轉90度,法向量還會是(-dy/dt, dx/dt)?
感覺你的法向量是利用切向量和法向量內積而得的,還是別的方式阿
以上問題煩請解惑!謝謝!
謝謝(煩惱即是菩提知識長)的回答
小弟還是想請問
(1)
梯度的導函數都是偏導函數,而且所討論函數都不是單變數
沒有寫 dw/dn的理由
---->
是說若是w=多少x只有一變數就可寫成這樣嗎?
我看書上如f向量在某點e方向的方向導數定義
df/ds(e方向)=▽f．e
後面也是▽前面也沒改成偏微?
(2)
切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針
旋轉90度(OK!?),故法向量為(dy/dt, -dx/dt)
----->這邊我想請問的是
順時針旋轉90度負的給y方向
逆時針旋轉90度負的給x方向
因為垂直不就內積為零,那怎麼判斷負給誰
以上問題煩請解惑!謝謝!
謝謝(煩惱即是菩提知識長)不厭其煩的回答
小弟實在太感謝了,知識+有你真好
4 個解答
- mathmanliuLv 71 0 年前最佳解答
∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)∙(-dy, dx)=(∂w/∂y)dx-(∂w/∂x)dy
原積分=∫_C (∂w/∂y)dx-(∂w/x)dy
(By Green's thm or Stokes thm)= -∫∫_A (∂^2 w/ ∂x^2+ ∂^2 w/∂y^2) dxdy
=-∫∫_A (6y-6y+2) dx dy (A為橢圓內部)
= -2*πab=-10π
2011-05-18 00:00:24 補充：
Sorry!沒看到您題目的圖案,normal是向外的,故 nds應是(dy, -dx), 故Ans:= 10π
1. n ds與切向量(dx,dy)垂直,向右轉90度, 故 n ds=(dy, -dx)
2.Green thm. or Stokes thm都是逆時針方向的
3.(a)兩定理的使用時機: vector filed為piecewise diff. 且曲線為piecewise smooth
Green使用於平面曲線的線積分與面積分(二重積分)的轉換
Stokes使用於空面曲線的線積分與曲面積分的轉換
2011-05-18 00:00:33 補充：
將xy平面曲線,視為空間曲線(但z=0),則Green為Stokes的特例
(b)不知Stokes thm的三種形式何所指? 就是∫(▽×F)●ndA=∫F●dr而已
2011-05-18 01:42:49 補充：
1. ∂w/∂n表沿法向量n的方向導數, 故∂w/∂n=grad(w)．n
又切向量=(dx, dy)改為複數(方便旋轉)得 dx+i dy, 順時針(因逆時針方向)轉90度得
(dx+i dy)*(-i)= dy - i dx, 故法向量n=(dy, -dx),與取點無關
2.本題vector field(function)=(-∂w/∂y, ∂w/∂x)=(-3x^2+3y^2-2y, 6xy)為可微分函數
取線為橢圓,當然到處可微(圓滑)
2011-05-18 01:44:50 補充：
3. 向量(M(x,y), N(x,y), 0), 空間線積分∫_C (M dx+N dy+0 dz)
(Stokes thm)=∫∫_S curl(M,N,0)．n dS = ∫∫_S (0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y)．(0, 0, dxdy)
=∫∫_S (∂N/∂x-∂M/∂y) dxdy 即得Green's thm
4. 看不懂您的3種Stokes
Stokes: ∫_C F．dr = ∫∫_S curl(F)．n dS
2011-05-18 16:58:32 補充：
1. 符號∂w/∂n,即為沿法向量n的方向導數,方向導數=grad(f)與該方向的內積
該站在曲線上任意點,切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針
旋轉90度(OK!?),故法向量為(-dy/dt, dx/dt), 則n ds= (-dy/dt, dx/dt)dt= (-dy, dx)
∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)與(-dy, dx)內積=(∂w/∂y)dx - (∂w/∂x)dy
2. 多項式函數當然到處可微分,為何有疑問?
不可微分例: √(x^2+y^2) 在(0,0)處梯度就不存在,則(0,0)處不可微分
2011-05-18 16:58:39 補充：
3.平面向量函數(M(x,y), N(x,y))視為空間向量函數F=(M(x,y), N(x,y), 0)
curf(F)=(0, 0, ∂N/∂x-∂M/∂y) (這是基本運算,若不會算,請多看點書)
曲線在x,y平面上且逆時針方向,則所圍形成面積單元,大小dxdy, 方向(0,0,1),
故 n dS=(0, 0, dx dy)
2011-05-18 18:32:48 補充：
(1)∂w/∂n為何不能寫成dw/dn表示成方向導數
(沒看過dw/dn的寫法),梯度的導函數都是偏導函數,而且所討論函數都不是單變數
沒有寫 dw/dn的理由
(2).sorry! (法向量的方向都相反了)更正如下:
切向量為(dx/dt, dy/dt), 每一點處法向量均為切向量順時針
旋轉90度(OK!?),故法向量為(dy/dt, -dx/dt), 則n ds= (dy/dt, -dx/dt)dt= (dy, -dx)
∂w/∂n ds=(∂w/∂x, ∂w/∂y)與(dy, -dx)內積=(∂w/∂x)dy - (∂w/∂y)dx (方向相反)
2011-05-18 22:47:08 補充：
(1)∂w/∂n或dw/dn何者表示法向量方向的導函數不是重點,重要的是計算上都用偏導
符號,不是單變數導數(d/dx),而且▽f．e也沒有單變數導數的意涵,故以∂w/∂n為宜
(2)想像(dx/dt, dy/dt)指向第一象限,則順轉90度應指向第四象限,故得(dy/dt, -dx/dt)
逆轉90度應指向第二象限,故為(-dy/dt, dx/dt)
