科學6 發問時間: 科學數學 · 10 年前

微分方程式的解 有其穩定性 請問此穩定性指的是什麼呢??

微分方程式的解 有其穩定性

請問 此穩定性 指的 究竟是什麼呢??

所謂的 方程式 不穩定和穩定 到底真正的意思是什麼呢??

希望 舉個簡單的例子 來說明 怎樣的情形是不穩定的 以及如何判別方程式 是否穩定!!

感恩~

已更新項目:

.

高一一 ( 初學者 4 級 ) 大大

您好

意思就是說

某微分方程式的解y(x)

如果y(x)隨著x 而發散

那麼此微分方程式

就是不穩定的

請問 是這個意思嗎??

所以 dy/dx=c*y

就是一個不穩定的微分方程式 吧?????( 想確認一下 謝謝您)

2 個已更新項目:

(還是說 微分方程的穩定性 這個詞

只能用在 二階ODE的問題呢??

)

3 個已更新項目:

高一一 ( 初學者 4 級 ) 大大

正確應該是

時間趨於無窮大,"非"齊性解 收斂至0,只剩下齊性解

5 個解答

評分
  • 10 年前
    最佳解答

    微分方程式的解通常有三種,齊性解,非齊性解,通解,異解,

    齊性解又稱暫態解,非齊性解又稱為穩態解,通解則是齊性解+非齊性解

    異解通常包住所有解與通解呈正交

    通常來說一個微分方程代表著如果是一個系統 穩定度代表著有界的輸入

    而得到有界的輸出(BIBO穩定)

    判別方法先了解其特性方程式(也就是要解齊性解的方程式)因為影響穩定性的是暫態如下圖

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AD05464655/o/1611051708...

    特性方程式有很多種類的解 以二階微分方程式而言,會有三種根1.兩相異實根

    2.兩相等實根3.兩共軛虛根

    1.兩相異實根 要判斷是否為負實數的根 因為只要是正實數的根 產生的齊性解會發散如正實數根為1 其齊性解為y=e^(x) 此圖形為發散 而負實數根會使其次冪為負故會收斂

    2.兩相等實根同1.只不過會影響到收斂的速度

    3.根據實部判斷是否為穩定其判斷方法也同1 實部是否為負實數 實部0則為弦波之震盪如上圖之解其必可以用三角函數之疊合,故有其之大小(為BIBO穩定)

    簡言之只要先找出其特性方程式,找出特性方程式的解其解是否為負實數即可判斷其穩定度

    2011-05-20 07:14:56 補充:

    y'=cy 這微分方程答案是不一定 y'-cy=0 D-c=0 D=c 要看C是多少影響其穩定性!! C<0穩定C>0不穩定

    也適用任一階微分方程看特性方程式的根來辨別此系統是否穩定

    只要根是負實數即為穩定系統

    2011-05-20 18:43:29 補充:

    我也想知道我錯在哪裡doraemonpaul 可以在多補充一些嗎 我回答這問題只是個人喜好

    2011-05-20 18:54:56 補充:

    我知道錯在那,謝謝doraemonpaul不然我還不知道錯在哪裡,齊性解代表著是無輸入的輸出,以系統而言,代表著原本系統的性質而非暫態 而 非齊性解則是有輸入的輸出

    2011-05-20 19:00:04 補充:

    有關於解的描述是錯誤的 錯在這句話 齊性解又稱暫態解,非齊性解又稱為穩態解,通解則是齊性解+非齊性解

    因該這樣說 齊性解又稱無輸入的輸出 非齊性解又稱有輸入的輸出 所以通解即

    無輸入的輸出+有輸入的輸出

    而齊性解和非齊性解都有其暫態和穩態

    2011-05-20 20:00:12 補充:

    http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

    可參考此網址有關於穩態和暫態的描述

    2011-05-20 20:06:49 補充:

    在參考此網址doraemonpaul http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

    之描述''

    2011-05-21 03:28:37 補充:

    我想想我還是感覺我說的對,齊性解以一般而言想想看,有什麼數+上自己的微分

    會等於0 通常都是e的次方以穩定系統而言,次方數要是負次冪,代表齊性解在時間趨於無窮大時會趨於0,亦即引響的是暫態,說是暫態解不為過

    再來就是非齊性解有人又稱特解(特別積分),在通解中,為齊性解在加非齊性解

    時間趨於無窮大,齊性解收斂至0,只剩下非齊性解稱非齊性解為穩態解不知哪裡 有錯

    2011-05-27 07:48:01 補充:

    第一個在解微分方程式一定在解線性的微分方程,即使是非線性的也會想辦法讓他變呈線性,所以在可以解的題目中必然幾乎都是線性,

    在輸出時,穩定是強調是否有界

    2011-05-27 08:04:01 補充:

    時間等趨於無窮時 兩種方程都衰減到 0 但兩個解應該也不相同阿像e^(-3X)和e^(-4X) 雖然在時間趨於無窮時都會衰減至0 但其本身就是不同 不同在於其收歛之速度

  • 匿名使用者
    6 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://*****

  • Sam
    Lv 6
    9 年前

    以下存純屬私人意見,僅供參考,不負責任:

    穩定性(Stability)是一個被用爛了的字(見Stability Theory of Differential Equations by Richard Bellman page 76, lines 7 and 8).他是一種概念,在不同的情況有不同的意思。千萬不要看成已定型的陳述或性質。大家的討論,離一般的說法很遠。其實只要查一下WIKI_STABILITY_再逐條往下查,你就可以有個大概的觀念。查知識我覺得沒有什麼用處,因為回答者不夠專業。

    2011-05-22 14:07:02 補充:

    真正要了解穩定性(Stability)一定要從非線性方程式或動態系統的專書或論文下手才是正軌,例如 Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra by Hirsch and Smale 或Stability Theory of Differential Equations by Richard Bellman.

    如果只想有非常初淺之概念,WIKI夠了。

    2011-05-22 14:21:22 補充:

    它非三言兩語可以說清楚,需要一大堆符號和式子,

    在知識上討論不適合(或根本不可能)。

    WIKI 寫的算是意思到又淺出,值得一讀。

    2011-05-23 23:56:45 補充:

    To : doraemonpaul ( 碩士級 1 級)

    若不計非齊性項的相關微分方程的通解在時間趨近於無限的時候趨近於0,則原來的微分方 程的通解在時間趨近於無限的時候趨近於穩態。

    [[question]]

    不知道有沒有誤解你的意思? 以下提供一個例子,其次解在時間趨近於無限的時候趨近於0,但原來的微分方 程的通解在時間趨近於無限的時候趨近於無限。

    2011-05-23 23:57:14 補充:

    dx(t)/dt=-3x(t)+e^t,

    其齊次方程式dx/dt=-3x, 通解為ke^(-3t)->0, as t->infinity.

    其非齊解為ke^(-3t)+1/4*e^t->infinity, as t->infinity.

    如果誤解你的意思,請見諒。

    2011-05-24 01:02:53 補充:

    To: 高一一 ( 初學者 4 級 )

    判別方法先瞭解其特性方程式特性方程式有很多種類的解 以二階微分方程式而言,會有三種根……

    [[*]]

    你說的是常係數ODE,只是ODE中之一點點點點點……而已,建議你到數學系圖書館看看有關ODE的書,或至少上WIKI

    http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential...

    你就知道你的問題在哪裡。

    2011-05-24 01:10:46 補充:

    高斯:名詞不重要,重要的是其中所含之概念。

    我們要真了解名詞所談內容之關鍵所在,才不會只在名詞上打轉,

    稍不著癢處,徒然浪費時間。

    2011-05-24 01:17:19 補充:

    稍稍不著癢處

    改為

    捎不著癢處

  • 10 年前

    高一一又犯下了「齊性解又稱暫態解,非齊性解又稱為穩態解,通解則是齊性解+非齊性解」這類謬誤。

    看來高中數學真是害人不淺!

    2011-05-23 04:35:38 補充:

    「齊性解又稱暫態解,非齊性解又稱為穩態解,通解則是齊性解+非齊性解」這句錯了甚麼?

    首先,「通解則是齊性解+非齊性解」錯的地方是即是說「通解一定是齊性解+非齊性解」,事實上只有線性微分方程的通解才是齊性解+非齊性解,至於非線性微分方程的通解則一定不是。

    其次,「齊性解又稱暫態解,非齊性解又稱為穩態解」錯的地方是即是說「齊性解一定是暫態解,非齊性解一定是穩態解」,事實上只有在自變數是代表時間的情況下才會有機會有「暫態」和「穩態」這兩種情況,若自變數是代表時間以外的東西則一定沒有。

    2011-05-23 04:52:57 補充:

    再者,就算只談論自變數是代表時間的線性微分方程,要使「齊性解」變成「暫態解」和「非齊性解」變成「穩態解」,還要符合一個先決條件,就是在時間趨近於無限的時候「齊性解」趨近於0,否則一定不是。

    有人覺得「齊性解一定是暫態解,非齊性解一定是穩態解」,只是由於2階常係數線性微分方程「齊性解」的形式過於簡單。而事實上,微分方程的世界不是只有常係數線性微分方程,還有變係數線性微分方程和最大組別的非線性微分方程。因此請不要拿2階常係數線性微分方程出來「扮代表」。

    高一一,請小心你的用詞。

    2011-05-23 05:15:48 補充:

    我還發現了一個現象,就是:在自變數是代表時間的非線性微分方程中,若不計非齊性項的相關微分方程的通解在時間趨近於無限的時候趨近於0,則原來的微分方程的通解在時間趨近於無限的時候趨近於穩態。我想不到如何用解析方法證明這點,但至少後來我畫出http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

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  • 10 年前

    高一一 ( 初學者 4 級 ) 大大

    您好

    意思就是說

    某微分方程式的解y(x)

    如果y(x)隨著x 而發散

    那麼此微分方程式

    就是不穩定的

    請問 是這個意思嗎??

    所以 dy/dx=c*y

    就是一個不穩定的微分方程式 吧?????( 想確認一下 謝謝您)

    2011-05-19 23:15:48 補充:

    (還是說 微分方程的穩定性 這個詞

    只能用在 二階ODE的問題呢??

    )

    2011-05-20 18:12:25 補充:

    高一一 ( 初學者 4 級 ) 大大

    我看到

    「齊性解又稱暫態解,非齊性解又稱為穩態解,通解則是齊性解+非齊性解」

    這個時也覺得怪怪的!

    請問正確應該是什麼呢??

    2011-05-21 21:15:03 補充:

    高一一 ( 初學者 4 級 ) 大大

    正確應該是

    時間趨於無窮大,"非"齊性解 收斂至0,只剩下齊性解

    您一直說錯

    說成

    時間趨於無窮大,齊性解 收斂至0,只剩下"非"齊性解

    2011-05-23 09:17:57 補充:

    doraemonpaul ( 碩士級 1 級 )大大

    請問您說的圖是 跟下面哪兩張有類似嗎??

    非線性

    http://www.wolframalpha.com/input/?_=1306112938662...

    線性

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%27+%3D+-...

    由圖 您是否發現 時間等趨於無窮時 兩種方程都衰減到 0 呢???

    2011-05-23 09:18:52 補充:

    請問這是否就必然代表

    以下兩方程的穩態解 必然相同了呢??

    m*(x^2+1)*(d^2 x /dt^2) = - k*x*(x^2+1) - b*(dx/dt) + sin(sqrt(k/m)*t)

    m*(d^2 x /dt^2) = - k*x - b*(dx/dt) + sin(sqrt(k/m)*t)

    2011-05-25 00:45:13 補充:

    Sam ( 初學者 1 級 ) 大大

    您給的

    例子dx(t)/dt=-3x(t)+e^t

    讓我了解到

    並不是齊性解 趨於零

    非其性解就會趨於穩態

    所以這個例子 對我很有幫助 感謝您~~

    2011-05-27 16:35:43 補充:

    高一一 ( 初學者 4 級 ) 大大

    謝謝您

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