做物理研究的時候 碰到無解析解問題 有幾種方法可解決?
做物理研究的時候 碰到無解析解問題 有幾種方法可解決?
1..不直接解微分方程 而去探討此方程的 有界性，週期性，穩定性...等 以達對物理現象的正確判斷
2..將物理問題簡化 得到 有解析解的數學模型來解
3..求數值解 然後觀察數值解的規律
4..不解數學模型 直接做實驗 得到實驗規律解
5..以反算法 求出會有接近相同現象 但卻有解析解的另一個數學模型
6..對方程式 用各種不同的變換展開 取其前幾項得到有解析解 且近似原方程式的數學模型 來解出近似解
請問
求近似解的方法
除了這些 還有沒有其他的辦法呢???
( 有人跟我討論 都是好的 我都不會生氣
故 也歡迎大家提出各種希奇古怪的 好方法 感恩)
阿貴 ( 初學者 5 級 ) 大大
您給的研究經驗 歷程
非常有用喔
謝謝您!!!
除了這兩種
還有更多的方法嗎??
3 個解答
- 10 年前最佳解答
我大概會選擇3吧
在解決你的問題前，先說我之前遇到的問題如何解決吧
一、Runge-Kutta method
我當初也碰過無解析解的題目：變壓器湧入電流
這個題目要解它的聯立微分方程組，
為了說明方便，我把它簡化了如以下的形式：
dx/dt = f(x,y,z,t)
dy/dt = f(x,y,z,t)
dz/dt = f(x,y,z,t)
在當時，因為公式裡面太複雜了，沒有任何一個人可以求到解析解
只好利用數值方法解這類的問題
我當初利用Runge-Kutta method 去求取數值解
Runge-Kutta method 的理論基礎是Taylor series，個人覺得誤差算滿小的
不過Runge-Kutta method 的原型是求解 dx/dy = f(x,y)之類的問題
想利用它來求解聯立方程組的問題，必須配合線性代數才行
就是令 u 為 向量u ，即令向量u= (x,y,z)
所以上面的聯立方程式就變為
du/dt = f(u,t)
如此一來，就可以利用Runge kutta method 去解這類的問題
不過，就寫程式的難易度而言
光是寫出Runge Kutta 的程式就有一點困難
Runge Kutta 再加上能解向量形式的問題，更是困難10倍
我當初解了出來，跟實驗數據差不多吻合
解決了某個教授卡了5年的問題
證明了上面的方法是可行的，只不過寫程式較為困難
值得一提的是，Runge-Kutta method 並非誤差最小的數值方法，
還有一些數值方法比它更精確，不過，通常越精確的方法越困難
提供給你做參考
二、有限元素法
除了Runge kutta method 之外，還有一個方法也是求近似解
就是"有限元素法"，
在已知邊界值、已知內部函數的情況下，可以求取空間內的數值解
它可以應用的範圍如熱傳導、電場、磁場等。有現成的軟體。
感想
沒辦法求得解析解時，利用數值解來解決問題，不失為一個好方法
但是最大的問題是它的誤差，而且這也是大家常問的問題
另外，做物理學的研究，有些人應該沒辦法接受數值解吧
如果大家沒辦法接受，那只好另外找方法