科學2 發問時間: 科學數學 · 10 年前

做物理研究的時候 碰到無解析解問題 有幾種方法可解決?

做物理研究的時候 碰到無解析解問題 有幾種方法可解決?

1..不直接解微分方程 而去探討此方程的 有界性,週期性,穩定性...等 以達對物理現象的正確判斷

2..將物理問題簡化 得到 有解析解的數學模型來解

3..求數值解 然後觀察數值解的規律

4..不解數學模型 直接做實驗 得到實驗規律解

5..以反算法 求出會有接近相同現象 但卻有解析解的另一個數學模型

6..對方程式 用各種不同的變換展開 取其前幾項得到有解析解 且近似原方程式的數學模型 來解出近似解

請問

求近似解的方法

除了這些 還有沒有其他的辦法呢???

( 有人跟我討論 都是好的 我都不會生氣

故 也歡迎大家提出各種希奇古怪的 好方法 感恩)

已更新項目:

阿貴 ( 初學者 5 級 ) 大大

您給的研究經驗 歷程

非常有用喔

謝謝您!!!

除了這兩種

還有更多的方法嗎??

3 個解答

評分
  • 10 年前
    最佳解答

    我大概會選擇3吧

    在解決你的問題前,先說我之前遇到的問題如何解決吧

    一、Runge-Kutta method

    我當初也碰過無解析解的題目:變壓器湧入電流

    這個題目要解它的聯立微分方程組,

    為了說明方便,我把它簡化了如以下的形式:

    dx/dt = f(x,y,z,t)

    dy/dt = f(x,y,z,t)

    dz/dt = f(x,y,z,t)

    在當時,因為公式裡面太複雜了,沒有任何一個人可以求到解析解

    只好利用數值方法解這類的問題

    我當初利用Runge-Kutta method 去求取數值解

    Runge-Kutta method 的理論基礎是Taylor series,個人覺得誤差算滿小的

    不過Runge-Kutta method 的原型是求解 dx/dy = f(x,y)之類的問題

    想利用它來求解聯立方程組的問題,必須配合線性代數才行

    就是令 u 為 向量u ,即令向量u= (x,y,z)

    所以上面的聯立方程式就變為

    du/dt = f(u,t)

    如此一來,就可以利用Runge kutta method 去解這類的問題

    不過,就寫程式的難易度而言

    光是寫出Runge Kutta 的程式就有一點困難

    Runge Kutta 再加上能解向量形式的問題,更是困難10倍

    我當初解了出來,跟實驗數據差不多吻合

    解決了某個教授卡了5年的問題

    證明了上面的方法是可行的,只不過寫程式較為困難

    值得一提的是,Runge-Kutta method 並非誤差最小的數值方法,

    還有一些數值方法比它更精確,不過,通常越精確的方法越困難

    提供給你做參考

    二、有限元素法

    除了Runge kutta method 之外,還有一個方法也是求近似解

    就是"有限元素法",

    在已知邊界值、已知內部函數的情況下,可以求取空間內的數值解

    它可以應用的範圍如熱傳導、電場、磁場等。有現成的軟體。

    感想

    沒辦法求得解析解時,利用數值解來解決問題,不失為一個好方法

    但是最大的問題是它的誤差,而且這也是大家常問的問題

    另外,做物理學的研究,有些人應該沒辦法接受數值解吧

    如果大家沒辦法接受,那只好另外找方法

  • 匿名使用者
    7 年前

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  • 10 年前

    阿貴 ( 初學者 5 級 ) 大大

    您給的研究經驗 歷程

    非常有用喔

    謝謝您!!!

    除了這兩種

    還有更多的方法嗎??

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