發問時間: 科學數學 · 9 年前

二項分配相加 急急急急急

請問X~b(n,p) y~b(m,p)

x+y也是二項 但請幫我用變數變換法證明!!!!!!!!!!! 謝謝

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如果座標軸 用U跟V的話那要怎麼解

因為我用U跟V的座標軸 但範圍無法一次加完 所以要分段加

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應該就是你說的case 2的部分

1 個解答

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  • 9 年前
    最佳解答

    f(x)=c(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x), x=0~n

    f(y)=c(m,y)*p^y*(1-p)^(m-y), y=0~m

    f(x,y)=f(x)*f(y)=c(n,x)*c(m,y)*p^(x+y)*(1-p)^(n+m-x-y)

    let u=x+y, v=y i.e. x=u-v, y=v

    u=v~(m+n)

    v=0~m

    or 0<=v <=u <=m+n

    f(u,v)=c(n,u-v)*c(m,v)*p^u*(1-p)^(n+m-u)

    y\

    m|--\------------

    | \

    |-----\-----|------ x

    ......... \ n

    ........... x+y=u case 1 (u=0~min{m,n})

    v<=u<=min{m,n}

    0<=v<=u

    f(u)=sum_v=0到u{ c(n,u-v)*c(m,v)*p^u*(1-p)^(n+m-u) }

    =p^u*(1-p)^(n+m-u)*sum_v=0到u{ c(n, u-v)*c(m, v)) }

    . (vandermonde identity)

    =p^u*(1-p)^(n+m-u)*c(m+n, u) ,u=0~min{m,n}

    .

    case 2 (u in (m, n) or (n, m))

    要討論吧...

    .

    最後所以 x+y=u ~b(n+m, p) , u=0~m+n

    2011-08-11 11:42:37 補充:

    case 2 (u in (m, n) or (n, m))

    (a)suppose n>= u> =m(如上圖)

    f(u)=p^u*(1-p)^(n+m-u)*sum_v=0到m{ c(n, u-v)*c(m, v)) }

    . (共u顆球,v想成紅球,則籃球有u-v顆: 取u顆的組合數...現在n> u> m)

    =p^u*(1-p)^(n+m-u)*c(m+n, u) ,n>= u>= m

    (b)suppose n<= u<= m 同理可証

    還有case 3 MAX(n, m)< u<(m+n)...

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