? 發問時間: 科學數學 · 9 年前

極限定義的證明題

limf(x)=L(x趨近於a)的定義:對任意的ε>0,都可以找到δ>0,使得當0<x-a之絕對值<δ,可推得f(x)-L的絕對值>ε。

我想問的是:

如何用這個定義去證明lim (f(x))^1/n=A^1/n(x趨近於a)且n為一自然數

已知lim f(x)=A(x趨近於a),A>0

1 個解答

評分
  • 9 年前
    最佳解答

    lim f(x) = A > 0

    ==> For some δ1>0, f(x)>A/2>0 whenever 0<|x-a|<δ1

    |(f(x))^{1/n}-A^{1/n}| = |f(x)-A|/Σ{(f(x))^{k/n}A^{(n-1-k)/n}: k=0,1,...,n-1}

    ≦ |f(x)-A|/Σ{(A/2)^{k/n}A^{(n-1-k)/n}: k=0,1,...,n-1}

    = |f(x)-A|/{[(2^n-1)/2^{n-1}]A^{(n-1)/n}}

    For any ε>0, there exists δ2>0 such that

    |f(x)-A|<ε{[(2^n-1)/2^{n-1}]A^{(n-1)/n}} whenver 0<|x-a|<δ2

    Thus, for 0<|x-a|<δ≡min{δ1,δ2}, we have

    |(f(x))^{1/n}-A^{1/n}| ≦ |f(x)-A|/{[(2^n-1)/2^{n-1}]A^{(n-1)/n}} < ε

    Q.E.D.

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