LAZZZ 發問時間: 科學數學 · 9 年前

三角 指數 積分問題!!

題目為 ∫(1+3sint)e^-t dt

求詳細計算過程 希望能有解說 感謝

困擾很久了 請高手指導 謝謝

我大概說一下我的計算觀念 如果有錯的 請協助我改正 謝謝你

先將裡面變成∫e^-t + 3e^-tsint dt

前面積分不變 後面用分部積分

然後就不會積了....不曉得我這樣想 有沒有錯 有的話 請協助我好嗎 謝謝

已更新項目:

謝謝兩位的回答!!

不過我有幾點疑問 就是 你們都有令-e^-t= v

我想請問 為甚麼是負的? 因為∫(3(e^-t)sint))dt 裡面的e^-t不是正的嗎....? 但你們同時都這樣令 我覺得因該是我哪邊觀念有問題...所以 麻煩解惑一下....謝謝

還有就是 永歲凋零老師 你的倒數第四行 ~ 第三行 我 有點看不太懂...還是說 那是所謂的 回流?? 例如先令∫ 3sint*e^(-t)dt為一個F涵數 記算到最後 題目重複出現在計算過程中 將他當作F來作方程式整理 求出F 這樣的感覺嗎?

謝謝你們的用心 感謝

2 個已更新項目:

還有我對分部積分的認知是可微分的擺在左邊 可積分的在右邊 然後微分微到0 積分積到跟0同行

有點類似門聯似的那種做法 不曉得這樣你們懂我的意思嗎 @@?

而你們令v= - e^(-t)的觀念 似乎是來自uv- ∫vdu這條式子的感覺

但 我不太熟悉uv- ∫vdu整體的涵義 不曉得 可以稍微講解一下嗎?

謝謝兩位的指導

3 個解答

評分
  • 9 年前
    最佳解答

    你將裡面成那樣....也是可以,但是你後面還是要做兩 次分部積分喔。

    而且妳其實正確的拆寫應為:

    ∫(e^-t)dt + ∫(3(e^-t)sint))dt

    ∫(e^-t)dt 用想的...答案是- e^(-t) 不然你就設u=- t自己算算看吧@@

    至於

    ∫(3(e^-t)sint))dt =3 ∫((e^-t)sint))dt

    let u=sint dv =e^(-t) dt

    du = cos t dt v= - e^(-t)

    by intergal of part :uv- ∫vdu

    =3*(sint*e^(-t) - ∫e^(-t)cosdt)

    前面不用算了....後面再令一次uv就可以了,後面懶的算了= =

    2011-10-02 01:19:29 補充:

    v 不是令的 是在dv= e^(-t) dt 為條件下算出來的

    因為∫(3(e^-t)sint))dt 裡面的e^-t不是正的嗎....? 看不太懂......

    你是指 e^(-t) 本身的y 皆 >0 嗎?

    @@但就算是我猜測的 "你是指 e^(-t) 本身的y 皆 >0 嗎?"

    還是老話一句...." v 不是令的 是在dv= e^(-t) dt 為條件下算出來的 "

    2011-10-02 01:23:06 補充:

    還有我對分部積分的認知是可微分的擺在左邊 可積分的在右邊 然後微分微到0 積分積到跟0同行

    有點類似門聯似的那種做法 不曉得這樣你們懂我的意思嗎 @@?

    @@"知道你再說什麼....勸你不要去看那個..沒有必要..除非你懂

    一昧的追求速解而不了解其涵義者,終至毀滅....至少在科學的領域內

    與其看那個......多花點時間在理解上面~學微積分到現在我雖然知道你說的那個速解

    但是用到的沒幾次 (因為除了真的很哭的難題,才會想快快解決它...)

    .

    2011-10-02 01:28:09 補充:

    而你們令v= - e^(-t)的觀念 似乎是來自uv- ∫vdu這條式子的感覺

    但 我不太熟悉uv- ∫vdu整體的涵義 不曉得 可以稍微講解一下嗎?

    這個請樓下大大解答吧...(汗...懶的說耶...有課本就算是英文都可以用google翻譯吧...)

    大略說明就是...你要先懂三件事情...

    1.微分的乘法運算 也就是 (uv) ' = u'v + uv'

    2.微積分基本定理

    其實你不了解也沒關係啦....反正會用就好...(平常有再做題目 算積分都有用到微積分基本定理 只是你沒意識到是基本定理而已)

    3.要會使用google 翻譯 課本...?!

    2011-10-02 01:28:13 補充:

    總之udv = uv -v du 請樓下大說明囉

    最佳解答給他吧~

    至少它全部打出來了.....

    不像我...懶惰的做到一半就停手>.

    參考資料: , 我~, 我~, 我~, 我~
  • 匿名使用者
    6 年前

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  • 9 年前

    ∫ (1+3sint)e^(-t) dt

    ->∫ e^(-t) dt+∫ 3sint*e^(-t) dt

    sol:

    ∫ e^(-t) dt=?

    ->-e^(-t)+c

    ∫ 3sint*e^(-t) dt=?

    set u=3sint

    du=3cost

    v=-e^(-t)

    dv=e^(-t)

    ∫ 3sint*e^(-t) dt

    ->-3sint*e^(-t)+ ∫ 3cost*e^(-t)dt

    set u=3cost

    du=-3sint

    v=-e^(-t)

    dv=e^(-t)

    ∫ 3sint*e^(-t) dt=-3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)+∫ 3sint*e^(-t)dt

    ->2∫ 3sint*e^(-t) dt=-3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)

    ->∫ 3sint*e^(-t) dt=[ -3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)]/2+c

    最後答案-e^(-t)+[ -3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)]/2+c

    2011-09-30 22:42:37 補充:

    倒數第四式更正:∫ 3sint*e^(-t) dt=-3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)-∫3sint*e^(-t)dt

    你應該算不出來是這裡

    ∫ 3sint*e^(-t) dt=-3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)-∫3sint*e^(-t)dt

    你的思考正確

    先乘開再分開積分

    後項需做二次分部積分再合併

    以上均已列式

    有問題請在提出

    感恩

    2011-10-02 11:20:43 補充:

    分部積分證明:

    一函數:f(x)

    二函數:g(x)

    二函數相乘對x微分

    ->d/dx[f(x)*g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

    兩邊同取積分

    ->∫ d/dx[f(x)*g(x)] dx=∫ f'(x)g(x) dx+∫ f(x)g'(x) dx

    ->f(x)*g(x)=∫ f'(x)g(x) dx+∫ f(x)g'(x) dx

    ->∫ f(x)g'(x) dx=f(x)*g(x)- ∫ f'(x)g(x) dx

    一般都寫成:

    ->∫ u*dv=uv- ∫ v*du

    2011-10-02 12:15:34 補充:

    倒數第四行第三行:

    ->∫ 3sint*e^(-t) dt=-3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)-∫ 3sint*e^(-t)dt

    [右式有-∫ 3sint*e^(-t)dt]

    [移至左式]

    ->2∫ 3sint*e^(-t) dt=-3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)

    [兩倍2∫ 3sint*e^(-t)dt移至左式之全式除2]

    ->∫ 3sint*e^(-t) dt=[ -3sint*e^(-t)+3cos*e^(-t)]/2+c

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