扁頭科學 發問時間: 科學數學 · 9 年前

代數學的證明If G is any group, N⊳G

If G is any group, N⊳G, and Φ:G→G' a homomorphism of G onto G', then prove that the image,Φ(N), of N is a normal subgroup of G'

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可不可以提示我如何證明Φ(N)是G'的子群

幫我看一下,我的證法如下:

1.Φ(e)=e' implies e'屬於Φ(N),Φ(N)不為空集

2.x,y屬於Φ(N) implies x∗'y屬於Φ(N)

x=Φ(a),y=Φ(b) a,b屬於N implies x∗'y=Φ(a)∗'Φ(b)=Φ(a∗b)

implies x∗'y屬於Φ(N)

3.x屬於Φ(N) implies x=Φ(a), a屬於N implies x^-1=Φ(a)^-1

=Φ(a^-1)屬於Φ(N)

by1+2+3,Φ(N) is a subgroup of G'

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為什麼ghg^-1屬於Φ(N)就會Φ(N)⊳G'

3 個已更新項目:

喔!我懂了,這是基本定義

1 個解答

評分
  • 9 年前
    最佳解答

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AF03256679/o/1611112206...

    當然還要看看他是否為G'的子群,這部分請你自己做了

    2011-11-22 22:45:40 補充:

    子群證明大概就是那樣子,我昨天有點睡眠不足,大概看一下應該沒啥問題

    normal有幾條等價,其中一條是

    for all g∈G gHg^-1=H

    這翻譯成元素的說法就是:

    for all h∈H,forall g∈G ghg^-1∈H

    參考資料: 我自己+數學娘的加持
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