佑信 發問時間: 科學數學 · 9 年前

關於反曲點,詳述定義

若f(x)''不存在或=0,則在x處有反曲點 ,最近算到一題!!

f(x)=(x^2 - 4)^(2/3) 求相對極值&反曲點。

一階微分求得臨界點後,判斷出相對極小值f(-2)=f(2)=0,

相對極大值f(0)=16^(1/3),

依上方定義,二階微分後發現x=0,2,-2,√12,-√12

以上都會讓f(x)為零或不存在!!

Q1:如果x為極值是否就不可能為反曲點?

Q2:若f'(x)=0 or not exist,即便在f''(x)=0 or not exist,x也不可能為反曲點?

Q3.還是說還是用最根本方法,f''(x+c)*f''(x-c)<0之方法求解?

上方的理論還是會有盲點?

一定要正確回答我上面問題,不要略述

1 個解答

評分
  • 9 年前
    最佳解答

    若f(x)''不存在或=0,則在x處有反曲點

    這不是反曲點的定義, 且不十分正確.

    反曲點的定義是在點(x,f(x))附近有concavity change : concave upward to concave downward or concave downward to concave upward. 或 在你Q3.裡的f''(x+c)*f''(x-c)<0 . 定義是沒有盲點的. 以上紅色部分需修正為

    若f(x)''不存在或=0,則在x處可能有反曲點

    所以根據你的計算, f(x)=(x^2 - 4)^(2/3)有反曲點於(根號12,f(根號12)),(-根號12,f(-根號12)). 臨界點是極值的候選人; f(x)''不存在或=0則是反曲點的候選人.最重要的是候選人不一定當選, 且選舉也不一定有當選人, 當選人不一定只有一個. 這是數學.

    Q1不一定正確: f(x)=x^(2/3) 是反例: (0,0)是反曲點且極小.

    Q2不一定正確: f(x)=x^3 是反例: (0,0)是反曲點[但非極大極小].

    定義搞清楚就不會衍生一些不必要的疑慮.

    2011-12-13 08:49:15 補充:

    Q1的反例舉錯了試改成f(x)=2-x^2 for x<1; =e^(x-1) for x>=1 . 則(1,1)是反曲點且極小.

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