關於反曲點，詳述定義
若f(x)''不存在或=0，則在x處有反曲點 ，最近算到一題!!
f(x)=(x^2 - 4)^(2/3) 求相對極值&反曲點。
一階微分求得臨界點後，判斷出相對極小值f(-2)=f(2)=0，
相對極大值f(0)=16^(1/3)，
依上方定義，二階微分後發現x=0,2,-2,√12,-√12
以上都會讓f(x)為零或不存在!!
Q1:如果x為極值是否就不可能為反曲點?
Q2:若f'(x)=0 or not exist，即便在f''(x)=0 or not exist，x也不可能為反曲點?
Q3.還是說還是用最根本方法，f''(x+c)*f''(x-c)<0之方法求解?
上方的理論還是會有盲點?
一定要正確回答我上面問題，不要略述
1 個解答
- 教書的Lv 69 年前最佳解答
若f(x)''不存在或=0，則在x處有反曲點
這不是反曲點的定義, 且不十分正確.
反曲點的定義是在點(x,f(x))附近有concavity change : concave upward to concave downward or concave downward to concave upward. 或 在你Q3.裡的f''(x+c)*f''(x-c)<0 . 定義是沒有盲點的. 以上紅色部分需修正為
若f(x)''不存在或=0，則在x處可能有反曲點
所以根據你的計算, f(x)=(x^2 - 4)^(2/3)有反曲點於(根號12,f(根號12)),(-根號12,f(-根號12)). 臨界點是極值的候選人; f(x)''不存在或=0則是反曲點的候選人.最重要的是候選人不一定當選, 且選舉也不一定有當選人, 當選人不一定只有一個. 這是數學.
Q1不一定正確: f(x)=x^(2/3) 是反例: (0,0)是反曲點且極小.
Q2不一定正確: f(x)=x^3 是反例: (0,0)是反曲點[但非極大極小].
定義搞清楚就不會衍生一些不必要的疑慮.
2011-12-13 08:49:15 補充：
Q1的反例舉錯了試改成f(x)=2-x^2 for x<1; =e^(x-1) for x>=1 . 則(1,1)是反曲點且極小.