大寶 發問時間: 科學數學 · 9 年前

關於統計學的問題~~二元隨機變數和共變異數,交叉動差..等等

1. X, Y 為隨機變數, 且 X 的均數為 0, 變異數為 4, E(Y|X) = 3-5X. 請計算 E(XY), 請問 X, Y 是否相關? 2. X, Y 為隨機變數, 且 X 的均數為 E(X), 變異數為 4, Y 的均數為 0, 變異數為 V(Y). 我們已知 E(X|Y) = 2Y2, E(Y|X) = --3+0.5X. 請計算 E(X), V(Y), COV(X, Y). 若我們又得知 V(Y|X) 為實數 c, 請計算 V(Y|X).

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  • 9 年前
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    1. X, Y 為隨機變數, 且 X 的均數為 0, 變異數為 4, E(Y|X) = 3-5X. 請計算 E(XY), 請問 X, Y 是否相關? [Sol.]E[XY] = E[E[XY|X]] = E[XE[Y|X]] = E[X(3-5X)] = E[3X-5X^2]

    = 3E[X]-5E[X^2] = 3(0) - 5(4) = -20

    E[X] = 0 故 Cov(X,Y) = E[XY]-E[X]E[Y] = E[XY] = -20 < 0

    故 X 與 Y 為負相關.

    ▌ 2. X, Y 為隨機變數, 且 X 的均數為 E(X), 變異數為 4, Y 的均數為 0, 變異數為 V(Y). 我們已知 E(X|Y) = 2Y2, E(Y|X) = --3+0.5X. 請計算 E(X), V(Y), COV(X, Y). 若我們又得知 V(Y|X) 為實數 c, 請計算 V(Y|X).

    [Sol.]E[X] = E[E[X|Y]] = E[2Y^2] = 2E[Y^2] = 2{(E[Y])^2 + V(Y)}

    = 2V(Y)

    E[Y] = E[E[Y|X]] = E[-3+0.5X] = -3+0.5E[X] = -3+V(Y)

    E[Y] = 0, 故 V(Y)=3, 故 E[X]=6.

    Cov(X,Y) = E[XY]-E[X]E[Y] = E[XY] = E[X.E[Y|X]]

    = E[-3X+0.5X^2] = -3E[X]+0.5E[X^2]

    = -3E[X]+0.5{(E[X])^2+V(X)} = -3.6+0.5(6^2+4)

    = 2

    V(Y) = E[V(Y|X)]+V(E[Y|X]) = E[V(Y|X)] + V(-3+0.5X)

    = c + 0.25V(X) = c+0.25(4) = 3

    故 c=2, 即 V(Y|X) = 2.

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