小寒寒--* 發問時間: 科學數學 · 8 年前

請問一題定積分的問題

If n is a positive integer, then ∫_(0~∞)x^n‧e^(-x)dx=?

ans: n!

1 個解答

評分
  • 8 年前
    最佳解答

    If n is a positive integer, then ∫(0~∞)_x^n‧e^(-x)dx=?

    Sol

    ∫(0~∞)_x^n‧e^(-x)dx

    Set u=x^n,dv=e^(-x)dx

    du=nx^(n-1)dx,v=-e^(-x)

    ∫(0~∞)_x^n‧e^(-x)dx

    =-nx^(n-1)*e^(-x)|(0~∞)+n∫(0~∞)_x^(n-1)e^(-x)dx

    lim(x->∞)_x^(n-1)*e^(-x)

    =lim(x->∞)_x^(n-1)/e^x 0/0 type

    =(n-1)lim(x->∞)_x^(n-1)/e^x

    =0

    lim(x->0)_x^(n-1)*e^(-x)

    =lim(x->0)_x^(n-1)/e^x

    =0/1

    =0

    So

    ∫(0~∞)_x^n‧e^(-x)dx

    =n∫(0~∞)_x^(n-1)e^(-x)dx

    =n(n-1)∫(0~∞)_x^(n-2)e^(-x)dx

    =…

    =n!

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