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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 9 年前

求數學高手幫忙,數學歸納法(要解答過程),萬分謝意!!

1.(a)用數學歸納法,證明對任意正整數n, 1^2x2+2^2x3+...+n^2(n+1)=1/12n(n+1)(n+2)(3n+1)

(b) 推導出對任意正整數n, n(n+1)(n+2)(3n+1)可被24整除.

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  • 9 年前
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    1.(a)用數學歸納法,證明對任意正整數n, 1^2×2+2^2×3+...+n^2(n+1)=(1/12) n(n+1)(n+2)(3n+1)n=1, 左式=1^2*2=2 ,右式=(1/12)1*2*3*4=2,左=右令n=k,亦合1^2×2+2^2×3+...+k^2(k+1)=(1/12) k(k +1)( k +2)(3k +1)當n=k+1左式=1^2×2+2^2×3+...+k^2 (k+1)+ (k+1)^2 (k+2)=(1/12) k(k +1)( k+2)(3k +1)+ (k+1)^2 (k+2)=(1/12) k(k +1)( k+2)(3k +1)+ (1/12)(k+1)(k+2)(12k+12)=(1/12) (k +1)( k +2)[3k^2+13k+12)]=(1/12) (k+1)( k +2) (k+3) (3k+4)=右式 (b) 推導出對任意正整數n, n(n+1)(n+2)(3n+1)可被24整除.n=1,n(n+1)(n+2)(3n+1)=1*2*3*4(合)令n=k 亦合k(k+1)(k+2)(3k+1)=24tn=k+1(k+1)(k+2)(k+3)(3k+4)=(k+1)(k+2)[3k^2+13k+12]= (k+1)(k+2)[3k^2+k+12k+12]= (k+1)(k+2)k(3k+1)+12(k+1)(k+1)(k+2)=24t+12(k+1) (k+1)(k+2)(k+1)(k+2) 必為偶數==> 12(k+1) (k+1)(k+2) 可被24整除故得證

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