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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 8 年前

什麼是主值積分(Principal Value)?

Principal Value 跟Cauchy Principal Value一樣嗎?

大大能不能大略講解一下觀念,公式?

網路上找過了大部分都太攏統看不懂,在微積分的書裡面翻的到嗎?

或者是在工程數學的哪一章節呢? (複數? 向量?)

另外舉個例子示範一下, 謝謝

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AF03123771/o/1012012606...

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謝謝!我再研究看看怎麼做...

4 個解答

評分
  • 8 年前
    最佳解答

    "Principal Value" 的意義要看用在哪裡.

    用在複變數函數, 就是多值函數如 log(z) 取一 principal branch,

    成為單值函數.

    用在 improper integral, 則等於 Cauchy principal value.

    而一個 improper integral 的 Cauchy principal value, 即是對

    improper integral 的特殊取極限的方法.

    一個 improper integral 依標準定義可能不存在, 如 ∫_(-∞,∞) f(x) dx

    依定義為

    ∫_(-∞,∞) f(x) dx = lim_{a→-∞,b→∞}∫_[a,b] f(x) dx

    而例如 f(x)=x/(1+x^2) 時上列積分是不存在的.

    取 Cauchy principal value 時, 定義為

    pr.v.∫_{-∞,∞} f(x) dx = lim_{b→∞}∫_[-b,b] f(x) dx

    以 f(x)=x/(1+x^2) 得上列瑕積分之 Cauchy 主值為 0.

    所舉之例, f(x)=1/[(x^2-3x+2)(x^2+1) 在 (-∞,∞) 之 improper

    integral 的 Cauchy principal value, 由於 f(x) 除 -∞ 與 +∞

    之外, 有 1, 2 兩個 singular points, 因此, 需考慮分 [-b,1-δ],

    [1+δ,2-ε], [2+ε,b] 三段做積分後加總, 再令 b→∞, δ→0+, ε→0+

    取極限.

    計算時, f(x) = 1/[(x^2-3x+2)(x^2+1) 可以分解成部分分式:

    f(x) = (-1/2)/(x-1)+(1/5)/(x-2)+[(3x+1)/10]/(x^2+1)

    其中前2項如前述分3段積分, 再取極限, 得 Cauchy pr.v. 為 0;

    而 [(3x+1)/10]/(x^2+1) 在 (-∞,∞) 積分之 Cauchy pr.v. 為 π/10.

    故所求之 Cauchy pr.v. 為 π/10.

    2012-01-30 21:21:05 補充:

    singular pole是不是只能是實根,所以x^2 + 1 才沒有singular pole?

    [R] 只考慮實數, 不涉及虛數.

    {{其中前2項如前述分3段積分, 再取極限, 得 Cauchy pr.v. 為 0;}}

    就是說兩項 (-1/2)/(x-1) 跟 (1/5)/(x-2)都要做三段積分?

    [R] 對. 而且其積分結果合併一起考慮極限.

    2012-01-30 21:21:18 補充:

    而 [(3x+1)/10]/(x^2+1) 在 (-∞,∞) 積分

    是不是因為他沒有singular pole 所以不用分段積分? (因為他連續!?)

    [R] 對, 直接考慮在 [-b,b] 的積分即可. 當然如果分三段, 結果也一樣.

  • 匿名使用者
    5 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://qaz331.pixnet.net/blog

  • 匿名使用者
    8 年前

    英文都看不董 ==...有沒有簡單的例子阿... 不過還是謝謝妳

    2012-01-27 17:35:29 補充:

    不好意思我基礎不好還是有點霧裡看花...

    看完的結果我有幾個問題:

    1.Principal Value跟Cauchy Principal Value差在柯西是負極限到極限的積分?

    2.T大給我的

    [關於主值的部份, 給你這個網址, 因為要說明真的有點吃力

    http://people.chu.edu.tw/~cclu/ComplexVariableAnal...

    這個網頁裡面說明的主值只是自然對數,但是主值應該不是只有自然對數有對吧?

    3.主值積分就是 求出主值之後再積分的意思嗎?

    謝謝!!

    找書找了好多遍都找不到= =

    2012-01-30 23:07:05 補充:

    謝謝!! 懂哩,數學其實挺有趣的....

  • Tsai
    Lv 6
    8 年前

    Principal Value 與 Cauchy Principal Value 都是在複變函數的章節會介紹到

    提供網址給您參考

    Principal Value

    http://mathworld.wolfram.com/PrincipalValue.html

    Cauchy Principal Value

    http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue....

    2012-01-27 13:46:26 補充:

    關於主值的部份, 給你這個網址, 因為要說明真的有點吃力

    http://people.chu.edu.tw/~cclu/ComplexVariableAnal...

                  -∞

    科西主值的形式類似瑕積分, 如 ∫ f(x) dx, 就是柯西主值的表示法

                  ∞

    而在積分前面多個 PV 只是告訴你此積分是柯西主值而已.

    給這網址看一下吧

    http://people.chu.edu.tw/~cclu/ComplexVariableAnal...

    2012-01-27 21:22:17 補充:

    主值含意就是在『某個定義的主幅角下的函數』即為『單值函數』

    而科西主值也可以稱為主值積分, 也就是單值函數的積分

    主值有無限多種, 而自然對數只是其中一種, 如 tan(z)=12345, (1+2i)^(4+5i), ... 等都可以求出它的主值

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