一些高中的數學問題

Question

1.(3+2*2^1/2)^3+(3-2*2^1/2)^3=____.

----->答案是1982.甲.乙兩人分別在相距28公里的A.B兩地同時出門,甲的行進速度是乙的兩倍.若甲由A向B走,乙由B向第三地C前進,其中角度ABC=60度,則甲走了___公里後與乙距離最近,此時兩人相距____公里.

答案是20,2*21^1/23.設n是正整數,已知n^50是56位數,則n^30是幾位數?

----->答案是344.求cos^2θ+sinθ-1的最大值與最小值

----->答案是最大值1/4最小值-2

第1小題我解到這樣[(2^1/2+1)^2]^3+[(2^1/2-1)^2]^3就不會了

該不會要死算吧@@

麻煩各位數學高手替我解決這些問題!

拜託了,感恩~~

Answer 1

最佳解答

1.(3+2*2^1/2)^3+(3-2*2^1/2)^3=____.

----->答案是198(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3 (a-b)^3= a^3-3a^2*b+3a*b^2-b^3 (a+b)^3+(a+b)^3=2*a^3+6a*b^2所以(3+2*2^1/2)^3+(3-2*2^1/2)^3=2*3^3+6*3*(2*2^1/2)^2=54+6*3*8=54+144=1982.甲.乙兩人分別在相距28公里的A.B兩地同時出門,甲的行進速度是乙的兩倍.若甲由A向B走,乙由B向第三地C前進,其中角度ABC=60度,則甲走了___公里後與乙距離最近,此時兩人相距____公里.

Sol: 假設甲走了2X公里, 則乙往C方向走了X公里所以甲離B2的距離為28-2X公里, 乙離B點X公里餘弦定理 甲與乙的距離假設為Y, 則Y^2 = (28-2X)^2+X^2-2(28-X)*X*cos(60度) =4X^2-112X+784+X^2-(28-2X)*X =7X^2-140X+784 =7(X^2-20X+100)+84 =7(X-10)^2+84 >=84所以當X=10, Y^2有最小值 84 所以甲走了2X=20 公里所以Y的最小值 = √84=2*√21Ans: 20, 2*21^1/23.設n是正整數,已知n^50是56位數,則n^30是幾位數?

Sol: log10^a=a n^50為56位數所以 55<logn^50<5655/50<logn<56/50logn^30=30logn所以 30*55/50 <logn^30<30*56/5033<logn^30<33.6所以n^30為34位數Ans: 34位數4.求cos^2θ+sinθ-1的最大值與最小值

----->答案是最大值1/4最小值-2

cos^2θ+sinθ-1=(1-sin^2θ)+sinθ-1=-( sin^2θ-sinθ)=-( sin^2θ-sinθ+1/4)+1/4=-(sinθ-1/2)^2+1/4 =<1/4所以當sinθ-1/2=0 時有最大值1/4當sinθ=-1時有最小值 = -(-1-1/2)+1/4=-(-3/2)^2+1/4=-9/4+1/4=-2

參考資料： 電腦週邊急救團