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藍玫瑰 發問時間: 科學數學 · 8 年前

數學微積分 Precise Definition 的問題

1. lim x->9 根號x =3 利用Precise Definition of limit 來證明題目正確

2.The limit of f(x) as x approaches a is L if there exists a number

ε >0 such that for all δ >0 , I f(x)-L I < ε whenever 0< I x-a I < δ

上述題目是否正確?!是並解釋為何?否並解釋為何或是舉個例子?!

拜託了><!!

已更新項目:

可是正確答案是錯的喔!!!

2 個解答

評分
  • 8 年前
    最佳解答

    DEFINITION: The statement

    圖片參考:http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTOR...

    .

    1.

    Given ε>0, there exists δ = (ε/3) > 0 such that if 0 < | x-9 | <δ then

    | (√x)-3 | = | (x-9) / ((√x)+3) | < δ/3 = ε

    2.False;錯誤

    極限的觀念為

    任給一個大於零的數字(ε)

    我們都可以找到一個範圍(δ) ,使得

    當x夠靠近a的時候(小於範圍δ時), 則f(x)和L的距離也可以小於那個給定的數字(ε)

    所以原則上證明關鍵在於您要找到那個δ,然後利用那個δ證明出|f(x)-L|<ε

    因為是先給一個誤差程度ε ,才決定您的逼近範圍δ, 所以通常δ會和ε有關

    但題目的原敘述為存在一個數字ε ,當x-a可以任意靠近的時候

    則函數值f(x)和L的距離可以小於ε

    這只能代表f(x)和L的距離可以小於某個數字ε

    但兩者之間究竟可以多靠近呢?不知道!! 也許只能靠近到某個程度就停下來了 所以不能保證f(x)在x趨近於a時也能趨近於L

    舉例:

    令f 定義在[0,1], f(x) = x

    lim {x-->1} f(x) = 1 (應該是很明顯的 又或者您可以用定義證一次, 設定δ=ε即可)

    但是如果用2敘述寫的話 我可以得到 lim {x-->1} x = 100

    設定ε=1000, 則使得對於任意δ>0

    |f(x)-100|<1000 每當|x-1|<δ <---因為對於隨便大於0的數字都對 所以基本上您可以看出x會任意的靠近1

    但就算如此x在很靠近1的情況下 , f(x)和100的距離會小於某個數字會成立但其實很明顯是錯誤的證明

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 匿名使用者
    8 年前

    那解釋應該是對的。

    話說根號的部份,|x^(1/2) - 9^(1/2)| = |x-9/(x^1/2 + 3)|,由於能開根號的實數皆大於零之故,因此有|x-9/(x^1/2 + 3)| < |x-9/3|

    因此若取ε=δ/3,則每當0<|x-9|<δ時,恆有|x^(1/2) - 9^(1/2)| < ε

    x開根號可改寫為x^(1/2),所以以上我做了如此的改寫。

    以上是我個人見解,如有不對之處,歡迎指正

    2012-02-28 07:07:12 補充:

    看來我一時失察,沒仔細看清楚定義=_="

    參考資料: 個人手癢計算+網路Google對Precise Definition定義的查詢。
    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
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