佑信 發問時間: 科學數學 · 9 年前

不定積分-部分分式積分法

未定係數法假設方式我有些許疑問

1.

∫[2x^3 - 4x -8]/[(x^2 - x)(x^2 +4)] dx =A/x + B/(x-1) + (Cx+D)/ (x^2 +4)

2.

∫[x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x - 4]/[x^5 + 1] dx

=∫[x + [x^3 + 3x^2 + 9x + 18)/(x^4 + 9x^2)] dx

==>

x^3 + 3x^2 + 9x + 18)/(x^4 + 9x^2)

=A/x + B/x^2 + C/(x^2+9)

上面兩題都是利用未定係數法假設,

我現在困惑的部分,

分子到底要怎麼設,有時候設Cx+D or Ax+B,

有時候又只設C or A...

一開始我以為只要分母有x^n ,n>=2

並且她沒有依照,

例:1/(x-2)^3=A/(x-2) + 1/(x-2)^2 + 1/(x-2)^3拆解,

分子就要帶入Cx+D,否則單純C未知數即可。

已更新項目:

感謝幫忙~

如果是二次多項式b^2 - 4ac=0即重根。

如第二小題,為多次多項式,要如何判斷是否重根?

3 個解答

評分
  • 麻辣
    Lv 7
    9 年前
    最佳解答

    1.y=∫[2x^3-4x-8]/[(x^2-x)(x^2+4)]dx=A/x+B/(x-1)+(Cx+D)/(x^2+4) Sol:這題沒有重根1)分子次數=分母次數-12)重根=全部用常係數(2x^3-4x-8)/x(x-1)(x^2+4)*dx=a/x+b/(x-1)+(cx+d)/(x^2+4) f(x)=2x^3-4x-8=a(x-1)(x^2+4)+b*x(x^2+4)+(cx+d)x(x-1)f(0)=-8=-4a => a=2f(1)=-10=-5b => b=2f(2j)=-24j-8=(-8c-2d)j-4d+4c =>d-c=2d+4c=12 => c=2, d=4y=∫[2/x+2/(x-1)+(2x+4)/(x^2+4)]dx =2Ln(x)+2Ln(x-1)+Ln(x^2+4)+∫4/(x^2+4)dx=Ln[x^2*(x-1)^2*(x^2+4)]+2*atan(x/2)+C2.y=∫(x^3+3x^2+9x+18)/x^2*(x^2+9)=a/x+b/x^2+(cx+d)/(x^2+9)

    Sol:這題有重根.重根部份用常係數 f(x)=x^3+3x^2+9x+18=ax(x^2+9)+b(x^2+9)+(cx+d)x^2f(0)=18=9b => b=2f(3j)=27j+18=-27cj-9d =>c=-1, d=-2f(1)=31=a+2-3/10 => a=29.3y=∫[29.3/x+2/x^2-(x+2)/(x^2+9)]dx=29.3Ln(x)-2/x-∫0.5*d(x^2+9)/(x^2+9)-∫2/(x^2+9)]dx=29.3Ln(x)-2/x-Ln(x^2+9)/2-2/3*atan(x/3)+C

    2012-02-28 18:42:23 補充:

    f(1)更改:

    f(1)=31=10a+20-3 => a=1.4

    y=1.4Ln(x)-1/2*Ln(x^2+9)-2/x-2/3*atan(x/3)+C

  • 9 年前

    未定係數法假設

    未定係數法假設

    2012-02-28 18:00:36 補充:

    感謝~RollingGo的說明。

    不好意思在下疏忽。

  • 9 年前

    你這句話是甚麼意思?

    並且她沒有依照,

    2012-02-28 16:43:46 補充:

    還有,我看不懂你第二題在做甚麼!

    2012-02-28 16:55:30 補充:

    一般來說,定分子的係數可以分為幾種狀況!我就舉幾個例子來說好了!

    第一 : 1/(x-1)(x-2)(x^2+3) → A / (x-1) + B / (x-2) + (Cx+D) / (x^2+3)

    第二 : 1/x(x-1)^2 → A / x + B / (x-1) + C / (x-1)^2

    第三:如果分母還可以拆解要將它完全拆解!像是

    1 / (x^3+1) = 1 / (x+1)(x^2-x+1) → A / (x+1) + (Bx+C) / (x^2-x+1)

    2012-02-28 17:01:54 補充:

    另外,你第一題的那個"等式不成立"

    應該要另外寫一行,把你要積分的那堆"分式"單獨取出來,才可以寫等號,也就是 "不能有積分符號時,你就開始設未知數",像是你應該要把

    2x^3 - 4x -8]/[(x^2 - x)(x^2 +4) 重新寫一行才可以在後面寫等號並使用 " Partial fraction decompositions of rational functions"!

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