ian 發問時間: 科學數學 · 8 年前

求樣本大小

自母兩項母體取隨機樣本 欲以樣本比率估計母體比率的誤差不超過0.1機率為0.9

求樣本大小

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  • 8 年前
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    令 Y 代表樣本比例, p 是群體比例. 題意要決定 n, 使

    P[|Y-p|≦0.1] = 0.9

    事實上 "機率為 0.9" 不是一個適當的要求, 一般是要求

    "機率至少0.9" 之類的. 其理由在下面 "p 未知..." 一段可

    知. 再者, 由於計算是採常態近似, 因此對於 "機率為..."

    或 "機率至少..." 都只能算是近似地滿足.

    若樣本夠大, 則 Y 的分布接近平均數 p, 標準差 √{p(1-p)/n}

    的常態分布. 因此,

    0.1 = (1.645)√{p(1-p)/n}

    但 p 未知, 而 p(1-p)≦1/4, 通常取 n 使得

    (1.645)√{(1/4)/n} ≦ 0.1,

    以保證 (1.645)√{p(1-p)/n} ≦ 0.1, 因此保證了

    P[|Y-p|≦0.1] ≧ P[|Y-p|≦ (1.645)√{p(1-p)/n}] ≒ 0.9

    即: 以樣本比例估計群體比例的誤差不超過0.1機率至少0.9.

    解不等式 (1.645)√{(1/4)/n} ≦ 0.1, 得 n 的計算式:

    n ≧ (1/4)(1.645/0.1)^2 = 67.65

    因 n 必須是整數, 所以進位成 n≧68, 樣本數 68.

    2012-07-15 00:05:15 補充:

    p(1-p) = p-p^2 = 1/4 - 1/4+p-p^2 = 1/4-(p-1/2)^2 ≦ 1/4

    所以 (1.645)√{p(1-p)/n} ≦ (1.645)√{(1/4)/n}

    需要左邊不超過 0.1, 而這可由右邊不超過 0.1 得到保證.

  • 8 年前

    但 p 未知, 而 p(1-p)≦1/4, 通常取 n 使得

    why?1/4?

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