g13914 發問時間: 科學數學 · 8 年前

空間向量之距離的問題

空間中一點P(6,2,−7),則點P到下列何者之距離最小?

(A) x 軸 (B) xz平面 (C)平面 x + 2y − 2z = 3

(D)點(1,1,4) (E)直線 (x-4)/2=(y-1)/1=(z+4)/-3

ans.(E)

這題因為有扯到空間的部分,所以立體概念不好的我當然就無從而解囉,希望大師幫忙我解決困擾,感恩

3 個解答

評分
  • 8 年前
    最佳解答

    空間中一點(Xo,Yo,Zo)至一點(X,Y,Z)之距離 = √[(X-Xo)^2+(Y-Yo)^2+(Z-Zo)^2]

    (A)假想到x軸上點(6,0,0)的距離=√[(6-6)^2+(2-0)^2+(-7-0)^2]=√53

    (B)xz平面的y座標=0,所以

    假想到xz平面點(6,0,-7)的距離,所以=│2-0│=2

    (D)點(1,1,4) =>距離=√[(6-1)^2+(2-1)^2+(-7-4)^2]=√147 =7√3

    空間中一點(Xo,Yo,Zo)至平面aX+bY+cZ+d=0距離 = │aXo+bYo+cZo+d│/√(a^2+b^2+c^2)

    (C)點P(6,2,−7)到平面 x + 2y− 2z -3 = 0距離

    = │(6)+2*(2)-2*(-7)-3│/√[(1)^2+(2)^2+(-2)^2]= 21/3 = 7

    (E)令直線 (x-4)/2=(y-1)/1=(z+4)/-3=t

    x=2t+4

    y=t+1 ,t為實數

    z=-3t-4

    (※直線方向向量u(2,1,-3) )

    設直線上一點Q(2t+4,t+1,-3t-4)距點P(6,2,−7)最近方法一則PQ向量=(2t-2,t-1,-3t+3),PQ與直線垂直=>內積=0=>PQ‧V=0 =>(2t-2,t-1,-3t+3)‧(2,1,-3)=0 => 14t-14=0 =>t=1所以PQ向量=[2(1)-2,(1)-1,-3(1)t+3]= (0,0,0)=>PQ=0(ㄘㄟ!P點本身就在直線上嘛!當然距離最小)

    方法二直線上一點Q(2t+4,t+1,-3t-4)與點P(6,2,−7)距離=√[(2t+4-6)^2+(t+1-2)^2+(-3t-4+7)^2] =√14(t-1)^2當t=1時, 距離=√14(1-1)^2 =0

    2012-07-14 03:07:32 補充:

    空間概念:

    假想你坐在教室,看著左牆角就是原點(0,0,0),原點延伸到你左邊地線是x軸,原點往黑板地線是y,原點向上往天花板線是z軸。

    (地面是xy平面,黑板在yz平面,左牆是xz平面)多模擬觀察就容易想像空間座標了!

  • 8 年前

    空間中一點(a,b,c) 至一點 (x,y,z) 之距離 = √[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2].

    空間中一點 (a,b,c) 至一直線距離:

    (1) 先找出直線之方向向量, 如 (A) 是 (1,0,0), (E) 是 (2,1,-3).

    (2) 設直線過點 (x0,y0,z0), 求向量 v = (a-x0,b-y0,c-z0) 在上列

    方向向量之投影, 暫以 u 表示.

    (3) 求 v-u 之長度.

    2012-07-13 21:20:53 補充:

    空間中一點 (a,b,c) 至一平面之距離:

    (1) 先找平面之法向量, 如 (B) 是 (0,1,0), (C) 是 (1,2,-2).

    以 n = (α,β,γ) 表示此法向量.

    (2) 令 x=a+αt, y=b+βt, z=c+γt, 代入平面方程式, 求得 t=t0,

    (3) 所求距離為 |t0|*√(α^2+β^2+γ^2).

  • 8 年前

    Let me remind you that 1.5 = 3/2.

還有問題?馬上發問,尋求解答。