統計學期望值問題~急~

Question

有人知道這題怎麼算嗎
我已將暈頭轉向了
In Gomidia, families are all fertile, and   continue to have children until either they have a boy or they have three   girls. Define the proportion of boys in a family [PBF] as the   number of boys in each family divided by the total number of children in   each family.Is PBF a random variable? Why or why not?What is the expected value of PBF? Is this the   same as the proportion of boys in the population, or different? [Assume   pr(boy) = .5]What is the variance of PBF?

老怪物 · Accepted Answer

1. 有一個問題是: 若此家庭沒有小孩, PBF 如何定義?
    若此種情形 PBF 無定義, 那麼是否此種家庭要從群體中剔除?

適當處理上述問題, 則說 PBF 是一個隨機變數是可以的.
    這裡 "隨機變數" 可解釋為 "其值是隨機決定的變數", 雖然
    隨機變數的正式定義涉及隨機實驗、樣本空間等一堆東西.

2. 此處 "population" 究竟是指 "人口" 呢? 還是統計上的 "群體"?

從 "小孩人口" 群體來說, "the proportion of boys" 是
    Σb_i/Σc_i, 其中 c_i 是第 i family 的小孩數, b_i 是同一 family
   的男孩數. 而 PBF 期望值是 ΣPBFi/N. 若剔除沒有小孩的家庭,
   可寫成 Σ(b_i/c_i)/N, 其中 N 只計算有小孩的家庭.

顯然 Σb_i/Σc_i 與 Σ(b_i/c_i)/N 是不同的, 通常它們是不等的.

3. 問 the variance of PBF, 那麼考慮的並不是實際存在的群體,
    而是 "理論" 上的群體. 那麼, 在題目沒有明述的情況下, 只能
    假設所有 families 都完成了生育, 而且假設他們想生幾個就
    生幾個.

因此, 令
    X = 完成生育時小孩數,
    Y = 完成生育時男孩數.
    Z = PBF = Y/X.

依假設, (X,Y) 的可能組合是 (1,1),(2,1),(3,1) 及 (3,0) 四種而已.
    假設生男生女機會均等而且前後胎結果相互獨立. 則4種組合其
    機率依次是:  1/2, 1/4, 1/8, 1/8.

所以: E[X] = 1*1/2+2*1/4+3*1/4 = 7/4, E[Y] = 1*7/8+0*7/8 = 7/8.
    The proportion of boys 應是 E[Y]/E[X] = (7/8)/(7/4) = 1/2.

而 PBF 的期望值是 E[Y/X]:
  (1/1)*(1/2)+(1/2)*(1/4)+(1/3)*(1/8)+(0/3)*(1/8) = 2/3.

PBF 之 variance 為 E[(Y/X)^2]-(E[Y/X])^2:
 (1/1)^2*(1/2)+(1/2)^2*(1/4)+(1/3)^2*(1/8)+(0/3)^2*(1/8) - (2/3)^2
 = 91/144.

統計學期望值問題~急~

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