kevin 發問時間： 科學數學 · 7 年前

# 矩陣有重復的特徵值則無法對角化

### 2 個解答

• Sam
Lv 6
7 年前
最佳解答

如果想看對角化和不能對角化的矩陣例子，就直鏈接到WIKI網址；以下只COPY你問題之答案相關部分。Eigenspaces (特徵空間)請參考:WIKI_Eigenvalues and eigenvectorshttp://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigen... WIKI_特徵向量http://zh.wikipedia.org/wiki/特徵向量 可對角化(Diagonalizable matrix)請參考:請參考:英文WIKI_ Diagonalizable matrix http://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix An n-by-n matrix Aover the field F is diagonalizable ifand only if the sum of the dimensions of its eigenspaces is equalto n, which is the case if and only if there exists a basis of Fn consisting ofeigenvectors of A. If such a basis has been found, one can form thematrix P having these basis vectors as columns, and P−1AP will be a diagonal matrix. Thediagonal entries of this matrix are the eigenvalues of A.A linear map T: V→ V is diagonalizable if and only if the sum of the dimensions of its eigenspaces is equalto dim(V), which is the case if and only if there exists a basis of Vconsisting of eigenvectors of T. With respect to such a basis, Twill be represented by a diagonal matrix. The diagonal entries of this matrixare the eigenvalues of T.Another characterization: A matrixor linear map is diagonalizable over the field F if and only if its minimal polynomial is a productof distinct linear factors over F. (Put in another way, a matrix isdiagonalizable if and only if all of its elementary divisors are linear.)The following sufficient (but notnecessary) condition is often useful.An n-by-n matrix A isdiagonalizable over the field F if it has n distinct eigenvaluesin F, i.e. if its characteristic polynomial has ndistinct roots in F; however, the converse may be false.或中文WIKI_可對角化矩陣:

2012-10-22 16:38:37 補充：

關於可對角化映射和矩陣的基本事實可表達為如下:

在域 F 上的 n × n 矩陣 A 是可對角化的，若且唯若它的特徵空間的維度等於 n，它為真若且唯若存在由 A 的特徵向量組成的 Fn 的基。如果找到了這樣的基，可以形成有基向量作為縱列的矩陣 P，而 P -1AP 將是對角矩陣。這個矩陣的對角元素是 A 的特徵值。

線性映射 T : V → V 是可對角化的，若且唯若它的特徵空間的維度等於 dim(V)，它為真若且唯若存在由 T 的特徵向量組成的 V 的基。T 關於這個基將表示為對角矩陣。這個矩陣的對角元素是 T 的特徵值。

另一個特徵化: 矩陣或線性映射在域 F 上可對角

2012-10-22 19:49:34 補充：

另一個特徵化: 矩陣或線性映射在域 F 上可對角化的，若且唯若它的極小多項式在 F 上有不同的線性因子。

下列充分(但非必要)條件經常是有用的。

n × n 矩陣 A 只在域 F 上可對角化的，如果它在 F 中有 n 個不同的特徵值，就是說，如果它的特徵多項式在 F 中有 n 個不同的根。

線性映射 T : V → V 帶有 n=dim(V) 是可對角化的，如果它有 n 個不同的特徵值，就是說它的特徵多項式在 F 中有 n 個不同的根。

2012-10-22 19:58:36 補充：

簡單的說(實際上解題時使用的形式)，就是特徵多項式在 F 中有K重根，

若Eigenspaces (特徵空間)的緯度等於K，則可以對角化，

若Eigenspaces (特徵空間)的緯度小於K，則不可以對角化。

因為Eigenspaces (特徵空間)的緯度至少1，所以若無重根之時，

一定可以對角化。…這是上面充分(但非必要)條件所述的定理。

2012-10-22 20:09:05 補充：

例如:

A=

[2 0]

[0 2]

B=

[2 1]

[0 2]

之特徵多項式都是(x-2)^2

A對於eigenvalue 2之eigenspace(=R^2)的緯度=2，所以可以對角化；

B對於eigenvalue 2之eigenspace(=由特徵向量(1 ，0)所生成)

的緯度=1，所以不可以對角化。

2012-10-22 20:10:57 補充：

更一般的例子請參考線性代數的書，或上面

WIKI之網址。

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• 麻辣
Lv 7
7 年前

矩陣有重復的特徵值

表示n維次退化成n-1維次

仍然可以對角化

只是減少1維次

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