kevin 發問時間: 科學數學 · 7 年前

矩陣有重復的特徵值則無法對角化

矩陣有重復的特徵值則無法對角化,這句話正確嗎?如果不是,該如何說明?

2 個解答

評分
  • Sam
    Lv 6
    7 年前
    最佳解答

    如果想看對角化和不能對角化的矩陣例子,就直鏈接到WIKI網址;以下只COPY你問題之答案相關部分。Eigenspaces (特徵空間)請參考:WIKI_Eigenvalues and eigenvectorshttp://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigen... WIKI_特徵向量http://zh.wikipedia.org/wiki/特徵向量 可對角化(Diagonalizable matrix)請參考:請參考:英文WIKI_ Diagonalizable matrix http://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix An n-by-n matrix Aover the field F is diagonalizable ifand only if the sum of the dimensions of its eigenspaces is equalto n, which is the case if and only if there exists a basis of Fn consisting ofeigenvectors of A. If such a basis has been found, one can form thematrix P having these basis vectors as columns, and P−1AP will be a diagonal matrix. Thediagonal entries of this matrix are the eigenvalues of A.A linear map T: V→ V is diagonalizable if and only if the sum of the dimensions of its eigenspaces is equalto dim(V), which is the case if and only if there exists a basis of Vconsisting of eigenvectors of T. With respect to such a basis, Twill be represented by a diagonal matrix. The diagonal entries of this matrixare the eigenvalues of T.Another characterization: A matrixor linear map is diagonalizable over the field F if and only if its minimal polynomial is a productof distinct linear factors over F. (Put in another way, a matrix isdiagonalizable if and only if all of its elementary divisors are linear.)The following sufficient (but notnecessary) condition is often useful.An n-by-n matrix A isdiagonalizable over the field F if it has n distinct eigenvaluesin F, i.e. if its characteristic polynomial has ndistinct roots in F; however, the converse may be false.或中文WIKI_可對角化矩陣:

    http://zh.wikipedia.org/wiki/可對角化矩陣

    2012-10-22 16:38:37 補充:

    關於可對角化映射和矩陣的基本事實可表達為如下:

    在域 F 上的 n × n 矩陣 A 是可對角化的,若且唯若它的特徵空間的維度等於 n,它為真若且唯若存在由 A 的特徵向量組成的 Fn 的基。如果找到了這樣的基,可以形成有基向量作為縱列的矩陣 P,而 P -1AP 將是對角矩陣。這個矩陣的對角元素是 A 的特徵值。

    線性映射 T : V → V 是可對角化的,若且唯若它的特徵空間的維度等於 dim(V),它為真若且唯若存在由 T 的特徵向量組成的 V 的基。T 關於這個基將表示為對角矩陣。這個矩陣的對角元素是 T 的特徵值。

    另一個特徵化: 矩陣或線性映射在域 F 上可對角

    2012-10-22 19:49:34 補充:

    另一個特徵化: 矩陣或線性映射在域 F 上可對角化的,若且唯若它的極小多項式在 F 上有不同的線性因子。

    下列充分(但非必要)條件經常是有用的。

    n × n 矩陣 A 只在域 F 上可對角化的,如果它在 F 中有 n 個不同的特徵值,就是說,如果它的特徵多項式在 F 中有 n 個不同的根。

    線性映射 T : V → V 帶有 n=dim(V) 是可對角化的,如果它有 n 個不同的特徵值,就是說它的特徵多項式在 F 中有 n 個不同的根。

    2012-10-22 19:58:36 補充:

    簡單的說(實際上解題時使用的形式),就是特徵多項式在 F 中有K重根,

    若Eigenspaces (特徵空間)的緯度等於K,則可以對角化,

    若Eigenspaces (特徵空間)的緯度小於K,則不可以對角化。

    因為Eigenspaces (特徵空間)的緯度至少1,所以若無重根之時,

    一定可以對角化。…這是上面充分(但非必要)條件所述的定理。

    2012-10-22 20:09:05 補充:

    例如:

    A=

    [2 0]

    [0 2]

    B=

    [2 1]

    [0 2]

    之特徵多項式都是(x-2)^2

    A對於eigenvalue 2之eigenspace(=R^2)的緯度=2,所以可以對角化;

    B對於eigenvalue 2之eigenspace(=由特徵向量(1 ,0)所生成)

    的緯度=1,所以不可以對角化。

    2012-10-22 20:10:57 補充:

    更一般的例子請參考線性代數的書,或上面

    WIKI之網址。

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  • 麻辣
    Lv 7
    7 年前

    矩陣有重復的特徵值

    表示n維次退化成n-1維次

    仍然可以對角化

    只是減少1維次

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