數學題 jhmc第10屆題目?

Question

已知x,y都是一位數，使得|4500+10x+y−27(x+y)2|為最小時的x/y=

麻煩幫我用最簡單的國中算法解給我

Answer 1

最佳解答

x,y均為一位數，求│4500 + 10x + y - 27(x+y)^2│的最小值

國中算法：

因為x,y均為一位數，觀察上式，最有影響力的是

4500 和 -27(x+y)^2，且前者必為正，後者必為負

所以要讓 4500 和 27(x+y)^2 盡量接近較易有最小值。

但因 10x + y 必為正，會幫助 4500 這邊，所以要讓

27(x+y)^2 比 4500 大一些些。

4500 < 27(x+y)^2

除以9 ==> 500 < 3(x+y)^2

========> 166又2/3 < (x+y)^2

找大於166又2/3的平方數給(x+y)^2

推得(x+y)^2 = 169 (13的平方)

所以 x+y = 13

此時 │4500 + 10x + y - 27(x+y)^2│ 可化簡為

│4500 + 10x + y - 27 * 169│

=│4500 + 10x + y - 4563│

=│10x + y - 63│.................(1)

接下來是如何分配 13 給 x 和 y 的問題

由(1)式知，10x+y 要盡量接近 63 才能得最小值

.....x.......y......10x+y

__________________________

....9........4.......94

....8........5.......85

....7........6.......76

....6........7.......67

....5........8.......58

....4........9.......49

由於最接近 63 的是 x = 6 , y = 7 這組

所以 x/y = 6/7 .......ANS※

2013-01-27 16:19:28 補充：

附帶奉送：

當x,y均為一位數，│4500 + 10x + y - 27(x+y)^2│ 的最小值為 4。

只要將 x=6, y=7 代入 (1) 式即得！