一元二次方程式 根與係數的關係

Question

1.若一元二此方程式x^2+ax+b=0的兩根之和為4，兩根之積為1，

則a=_____，b=_____，此方程式的兩根為_______。

2.設α、β為一元二次方程式的兩根，且x^2係數為1。若α+β=5、αβ=4，

則此方程式為_______。

3.若一元二次方程式x^2+5x-3=0的兩根為a和b，則以2a和2b為兩根，且x^2項係數為1的一元二次方程式為_______。

4.已知2x^2-5x-2=0，試求:

(1) x-x分之1 (2) x^2-x^2分之1 (3)x+x分之1

Answer 1

最佳解答

1.若一元二此方程式x^2+ax+b=0的兩根之和為4，兩根之積為1，

則a=_____，b=_____，此方程式的兩根為_______。

令方程式兩根為α和β

依據根與係數知:-a=α+β=4、b=αβ=1==>a=-4,b=1 x^2-4x+1=0

==>x=2+√3, 2-√ 3 2.設α、β為一元二次方程式的兩根，且x^2係數為1。若α+β=5、αβ=4，

則此方程式為_______。依據根與係數知:α+β=5、αβ=4

其一元二次方程式為 x^2-5x+4=0 3.若一元二次方程式x^2+5x-3=0的兩根為a和b，則以2a和2b為兩根，且x^2項係數為1的一元二次方程式為_______。

依據根與係數知:a+b=-5 ,ab=-3

2a+2b=2(a+b)=-10 ,2a*2b=4ab=4(-3)=-12一元二次方程式為 x^2+10x-12=0

4.已知2x^2-5x-2=0，試求:

2x^2-5x-2=0

==>x-(5/2)-(1/x)=0

==>x-(1/x)=5/2(1) x-x分之1=5/2

2013-01-28 17:24:35 補充：

(3)x+(1/x)

(x-(1/x))^2=x^2+(1/x^2)-2=25/4

==>x^2+(1/x^2)=33/4

(x+(1/x))^2=x^2+2+(1/x^2)=(33/4)+2=41/4

==>x+(1/x)=(√41)/2 ,(-√ 41/2不合)

2013-01-28 17:27:55 補充：

(2)

x^2-x^2分之1=(x+(1/x))(x-(1/x))=(√ 41/2)(5/2)=(5√ 41)/4

Answer 2

1.若一元二此方程式x^2+ax+b=0的兩根之和為4，兩根之積為1，

則a=__-4___，b=__1___，此方程式的兩根為__2加減√3_____。

Ans:

兩根之和=4= -a ，a= -4

兩根之積=1=b ，b=1

x^2-4x+1=0

(x-2)^2=3

x-2=正負√3

x=2加減√3

2.設α、β為一元二次方程式的兩根，且x^2係數為1。若α+β=5、αβ=4，

則此方程式為 x^2-5x+4=0____。

Ans:

設此方程式ax^2+bx+c=0

則α+β=5=-b/a，αβ=4=c/a

又a=1

所以b= -5，c=4

ax^2+bx+c=0 = x^2-5x+4=0

3.若一元二次方程式x^2+5x-3=0的兩根為a和b，則以2a和2b為兩根，且x^2項係數為1的一元二次方程式為 x^2+10x-12=0_______。

Ans:

a+b= -5，2(a+b)= -10

ab= -3，2a*2b= -12

所以此方程式為x^2+10x-12=0

4.已知2x^2-5x-2=0，試求:

(1) x-x分之1 (2) x^2-x^2分之1 (3)x+x分之1

Ans:

(1)

2x^2-5x-2=0

2x^2-2=5x

同除2x

x-x分之1=5/2

(2)

x^2-x^2分之1=(x-x分之1)(x+x分之1)

=(5/2)*(6又1/2)

=65/4

(3)

(x+x分之1)^2=(x-x分之1)^2+4=5/2+4=6又1/2