童帝
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童帝 發問時間: 科學數學 · 8 年前

高一等比級數問題

1. 7 + 77 + 777 + ... ... + 至第n項 = ?

2.等比級數 1 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... ... + 1/3^n-1 = Sn , 若 |3/2 - Sn|< 3/2000 , 求 n 最小值 .

1 個解答

評分
  • 8 年前
    最佳解答

    1.7+77+777+......+(連續n個7)--->此項簡稱n個7

    =(7/9)(9+99+999+.....+n個9

    =(7/9){(10-1)+(100-1)+1000-1)+.....+[(1後面n個0)-1]}

    =(7/9)[10+100+1000+....+(1後n個0)-n]

    =(7/9){10[10^n - 1]/9 - n}

    若需化簡,請版主自行乘開化簡

    2.Sn=1+1/3+1/3^2+1/3^3+.....+1/3^(n-1) [我覺得你少打一項 1/3]

    =[1-(1/3)^n]/(1-1/3)

    =[1-(1/3)^n]/(2/3)

    =[3-3*(1/3)^n]/2

    =[3-3^(-n+1)]/2

    │3/2 - Sn│ < 3/2000,求n 最小值

    │3/2 - [3-3^(-n+1)]/2│ ,3/2000

    │3/2 - 3/2 + 3^(-n+1)/2│ < 3/2000

    3^(-n+1)/2 < 3/2000

    兩邊乘以 2/3

    3^(-n) < 1/1000

    3^n > 1000

    得 n 最小值為 7

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