高一等比級數問題

Question

1. 7 + 77 + 777 + ... ... + 至第n項 = ?

2.等比級數 1 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... ... + 1/3^n-1 = Sn , 若 ｜3/2 - Sn｜< 3/2000 , 求 n 最小值 .

Answer 1

最佳解答

1.7+77+777+......+(連續n個7)--->此項簡稱n個7

=(7/9)(9+99+999+.....+n個9

=(7/9){(10-1)+(100-1)+1000-1)+.....+[(1後面n個0)-1]}

=(7/9)[10+100+1000+....+(1後n個0)-n]

=(7/9){10[10^n - 1]/9 - n}

若需化簡，請版主自行乘開化簡

2.Sn=1+1/3+1/3^2+1/3^3+.....+1/3^(n-1) [我覺得你少打一項 1/3]

=[1-(1/3)^n]/(1-1/3)

=[1-(1/3)^n]/(2/3)

=[3-3*(1/3)^n]/2

=[3-3^(-n+1)]/2

│3/2 - Sn│ < 3/2000，求n 最小值

│3/2 - [3-3^(-n+1)]/2│ ，3/2000

│3/2 - 3/2 + 3^(-n+1)/2│ < 3/2000

3^(-n+1)/2 < 3/2000

兩邊乘以 2/3

3^(-n) < 1/1000

3^n > 1000

得 n 最小值為 7