★故事是我的 發問時間: 科學數學 · 7 年前

微積分求extrema和saddle points

題目是這樣:

Examine the function for relative extrema and saddle points.

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AB04667688/o/2013060522...

已更新項目:

TO:麻辣

不好意思

我的z=(1/2-x^2+y^2)e^(1-x^2-y^2)

不是

z=(1/2-x^2-y^2)e^(1-x^2-y^2)

「z=(0.5-x^2-y^2)*e^(1-x^2-y^2)=(u-0.5)*e^u」這邊是否有錯誤呢@@??

請教一下 ..

3 個解答

評分
  • 麻辣
    Lv 7
    7 年前
    最佳解答

    微積分求extrema和saddle points.Let u=1-x^2-y^2, p=偏微分=> pu/px=-2x, pu/py=-2yp(e^u)/px=-2x*e^u, p(e^u)/py=-2y*e^uz=(0.5-x^2-y^2)*e^(1-x^2-y^2)=(u-0.5)*e^upz/px=e^u*pu/px+(u-0.5)*p(e^u)/px=-2x*e^u-(u-0.5)2x*e^u=-2x*e^u*(0.5+u)=0 => x=0, x^2+y^2=3/2x.y互相對稱偏微分為:pz/py=-2y*e^u*(0.5+u)=0=> y=0, x^2+y^2=3/2兩者求出臨界點為: x=0, y=√(3/2)或 y=0, x=√(3/2)繼續推展二次偏微分檢查屬性:A(x,y)=p^2z/px^2=-2*e^u*(0.5+u)-2x*pu/px-2x(0.5+u)*p(e^u)/px=-2*e^u*(0.5+u)+4x^2+4x^2*(0.5+u)*e^u=e^u*[-2(0.5+u)+4x^2*(1.5+u)]=e^u*[2x^2*(3-2u)-1-2u]u(0,√(3/2))=u(0,√(3/2))=1-0-3/2=-1/2A(0,√(3/2))=e^(-0.5)*(0-1+1)=0 => 不能確定A(√(3/2),0)=e^(-0.5)*[3*(3+1)-1+1]>0 => 存在min相同的方法:B(x,y)=p^2z/py^2=e^u*[2y^2*(3-2u)-1-2u]B(0,√(3/2))=e^(-0.5)*[3*(3+1)-1+1]>0 => 存在minB(√(3/2),0)=e^(-0.5)*(0-1+1)=0 => 不能確定min=z(√(3/2),0)=z(0,√(3/2))=(u-0.5)*e^u=(-1/2-1/2)/e^0.5=-e^(-0.5).............ans

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  • 7 年前

    感謝各位的指點!!!

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  • 7 年前

    雖然算起來可能有點煩瑣, 但並非困難的題目.

    求第一階偏導數, 令為 0, 解聯立方程式得 stationary points.

    再求第二階偏導數, 以檢驗各 stationary points 可得相對極

    大? 極小? 或鞍點?

    2013-06-08 12:49:21 補充:

    Stationary points 有 (0,0), (0,1/√2), (0,-1/√2), (√(3/2),0),(-√(3/2),0).

    這些點需要一一檢驗其二階偏導數以確定其性質.

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