大支 發問時間: 科學數學 · 7 年前

商用微積分 - 基本定理

(a)何謂微積分基本定理?

(b)請利微積分基本定理,求定積分 ∫_1^3〖〖(2x〗^2+1)〗 dx

(c)定積分與不定積分之關係為何?

(d)微積分基本定理解決之甚麼問題?

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  • 7 年前
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    (a) 微積分基本定理, 說明了 "微分" 與 "積分" 之間的關係.

    這定理有兩部分, 一是用於求解(定)積分:

    若 F(x) 是在 [a,b] 連續, 在 (a,b) 可微分, 使 F'(x)=f(x), x in (a,b).

    則 f(x) 在 [a,b] 的定積分 ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a).

    上述 F(x) 稱為 f(x) 在 [a,b] 的一個反導數. 若 f(x) 在 [a,b] 有

    反導數, 基本上它不唯一, 但任兩反導數之間相差不過是一個

    常數; 另一方面, 若 F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 的一個反導數, 則任

    取一常數 C, F(x)+C 也是 f(x) 在 [a,b] 的一個反導數. 因此我

    們寫 ∫ f(x) dx = F(x)+C, 這稱為 f(x) 在 [a,b] 範圍的 "不定積分".

    微積分定理的另一部分是對積分式的微分:

    若 f(x) 在 [a,b] 可積分, 定義 F(x) = ∫_[a,x] f(t) dt, 即 f(t) 在

    [a,x] 的定積分. 則

    (1) F(x) 在 [a,b] 是一個連續函數;

    (2) 若 f(x) 在 (a,b) 內任一點 x0 連續, 則 F(x) 在 x0 的導數存

    在, 而且 F'(x0) = f(x0).

    簡單地說, 就是:

    ∫_[a,b] F'(x) dx = F(b)-F(a) 與 (d/dx)∫_[a,x] f(t) dt = f(x).

    (b) ∫_[1,3] [(2x)^2+1] dx = ∫_[1,3] (4x^2+1) dx

    f(x) = 4x^2+1 的反導數(不定積分)是 (4/3)x^3+x+C,

    所以,

    ∫_[1,3] [(2x)2+1] dx = [(4/3)x^3+x]_{x=3} - [(4/3)x^3+x]_{x=1}

    = [(4/3)3^3+3] - [(4/3)1^3+1] =63/27+2 = 7/3+2 = 13/3.

    (c) "不定積分" 兩重意義:

    一是如前述的, 它就是指所有反導數. 也就是 f(x) (在某一範圍) 的

    不定積分是指任何 (在該範圍內) 之導函數為 f(x) 的所有函數 F(x).

    另一重意義是指沒有指定上下限, 或上下限任意的 "積分". 也就是

    說 f(x) 的不定積分 ∫ f(x) dx 可視為 ∫_[a,x] f(t) dt.

    根據微積分基本定理, 若 f(x) 在包含 [a,b] 的一個範圍內存在不定

    積分 ∫ f(x) dx = F(x)+C, 那麼 f(x) 在 [a,b] 的定積分 ∫_[a,b] f(x) dx

    或表示為 ∫_a^b f(x) dx 值為 F(b)-F(a).

    (d) 微積分基本定理, 解決了 "微分" 與 "積分" 之間的關係, 明確地

    說就是微分與積分是反運算的關係, 就像乘法與除法, 加法與減法

    之間的關係一般. 更明確地用式子表示, 是

    ∫_[a,b] F'(x) dx = F(b)-F(a) 與 (d/dx)∫_[a,x] f(t) dt = f(x).

    2013-06-14 16:13:28 補充:

    修正 (b)

    ∫_[1,3] [(2x)^2+1] dx = [(4/3)x^3+x]_{x=3} - [(4/3)x^3+x]_{x=1}

    = [(4/3)(27)+3]-[(4/3)+1] = 39 - 7/3 = 110/3.

    若積分式是 ∫_[1,3] (2x^2+1) dx , 則是

    ∫_[1,3] (2x^2+1) dx = [(2/3)x^3+x]_{x=3} - [(2/3)x^3+x]_{x=1}

    = [(2/3)(27)+3]-[(2/3)+1] = 21 - 5/3 = 58/3.

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