風聲耳語 發問時間: 科學數學 · 7 年前

(急)線性代數 簡單題目求算式

題目目標:利用像及線性轉換(或矩陣)的核的概念,並以向量的展延表示矩陣的像與核

請使用核以及像判斷矩陣是否可逆

試求以下能夠展延成矩陣A的核的一些向量

題目1:A = |1 2 3|

|1 3 2|

|3 2 1|

題目2:A = |1 1|

|1 2|

|1 3|

希望能告訴我算式

解答寫 ker(A) ={0}向量 (0上面有箭頭向右)

請問這是什麼意思呢?

1 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    矩陣 A 或線性變換 T 的 "核", 指的是 Ax=0 或 T(x)=0 的所有 x 的集合.

    A 是 m×n 矩陣的話, Ax 的 x 在 R^n 中, Ax 在 R^m 中. 也就是 A 可以

    看成是由 R^n 映至 R^m 的一個線性映象或線性變換.

    題 1:

    A = [ 1 2 3 ; 1 3 2 ; 3 2 1 ], 這是 R^3 到 R^3 的一個線性變換矩陣.

    由於 A 可逆, 所以只有零向量會被映至零向量, 所以 "核" 只有一個零

    向量, 也就是說 ker(A) = {0} (由 0 向量構成的集合)

    題 2:

    A = [ 1 1 ; 1 2 ; 1 3 ] 這是 R^2 到 R^3 的一個線性映象.

    由於行獨立 (A 的兩行視為兩個 R^3 的向量, 構成一個線性獨立集.)

    因此, A 的 image (像), 即 {Ax: x in R^2} 是 R^3 的一個 2維子空間.

    有一個 dimension 恆等式:

    null(A) + rank(A) = n

    即 dim(ker(A))+dim(range(A)) = n.

    此例 n=2, rank(A)=2, 因此 ker(A) 僅有零向量. 此例 ker(A) 的 0 向量

    是 R^2 的 0 向量. (注意 range 是 R^m 的子空間, 而 ker(A) 是 R^n 的.)

    2013-06-17 09:29:59 補充:

    m×n real matrix 的 dimension 恆等式:

    nullity(A) + rank(A) = n

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