跑酷俠 發問時間: 科學數學 · 7 年前

微積分 Stokes' theorem

Use Stokes' theorem to evaluate Line integral F‧ dr (F, r are vectors)

1.F(x,y,z)=3xz i+ e^xz j+ 2xy k; C is the circle obtained by intersecting the

cylinder x^2+z^2=1 with the plane y=3 oriented in a counterclockwise direction

when viewed from the right.

2.F(x,y,z)=xe^y i+ ye^x j+ (xyz) k; C is the path consisting of straight line

segments joining the points (0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(2,0,0),(2,0,1),(0,0,1),(0,0,0)

in that order.

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1.請問第一題的第一式是怎麼變成第二式的? (我有看出curl F ,但我不太清楚dydz, dzdx. dxdy 是怎麼來的?)

2.承上,第二式的第一項與第三項為什麼消掉了?

3.第二題第三式的第一項為什麼可以消掉?

4.承上,第五式第一項為什麼y=0?

2 個已更新項目:

5.第一題第二式之後可以用surface integrals (for graphs)來算嗎?

3 個已更新項目:

5.我是指 當y=G(x,z) 且 F=P i+Q j+ R k

∫∫ F.dS = ∫∫ ( -P Gx -Q Gz +R) dA

1 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

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    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/HA05107138/o/2013081320...

    2013-08-13 21:17:56 補充:

    (1) 這不就是Stokes theorem 嗎?http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem

    (2) 圓形處於y=3(為常數),所以dy=0

    (3) 第二題路徑處於二平面,一為x-y平面,一為x-z平面。x-y平面,dz=0;x-z平面,dy=0,故dydz=0

    (4) 第一積分為 x-z平面積分,該平面y=0,計算時只是把y值代入。

    2013-08-13 21:50:29 補充:

    (5)不明白你的問題。

    2013-08-14 12:45:18 補充:

    r = xi+g(x,z)j+zk

    rz = gz j + k

    rx = i + gx j

    rz × rx = -gx i + j - gz k

    ∬ (P1,Q1,R1)∙(rz × rx) dzdx = ∬ (-gx P1 + Q1 - gz R1) dzdx

    由於 g(x,z) = 3 所以 gx = 0; gz = 0

    積分 = ∬ Q1 dzdx = ∬ (∂P/∂z - ∂R/∂x) dzdx

    和原解同

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