三角函數的應用

Question

1.0<=x<=π,解方程式sin2x-cos2x=1

2.設P(x,y)為圓：x^2+y^2=1上任一點，O為原點，Q為點(3,-2),則

（1）x^2+2√3 xy-y^2的最大值為？ 最小值為？

（2）三角形POQ面積的最大值為？

Answer 1

最佳解答

1.

sin2x - cos2x = 1

sin2x = 1 - cos2x

2(sinx)(cosx) = 2sin²x

2sinx (cosx - sinx) = 0

sinx =0 或 cosx =sinx

x=0 或 x=π/4

2.

(1)

代 x=cosA, y=sinA，得:

x²-2√3xy-y²

=cos²A+2(√3)cosAsinA-sin²A

= cos2A - (√3)sin2A (因為cos²A-sin²A=cos2A)

= cosB - (√3)sinB, B=2A

設

cosB - (√3)sinB = Rcos(B+t)

留意Rcos(B+t)

= R(cosBcost - sinBsint)

= (Rcost)cosB - (Rsint)sinB

得 Rcost = 1 及 Rsint =√3

解聯立方程得 R=2, t=π/3

故

x²-2√3xy-y²

=cosB - (√3)sinB

= 2cos(B-π/3)

最大值=2, 最小值= -2

(2)

OQ = √[3²+(-2)²] = √13 (畢氏定理)

OP = 1 (圓半徑)

三角形POQ面積 = (1/2)(OQ)(OP)sin(角POQ)

因為OQ和OP是常數，故三角形POQ的面積取決於sin(角POQ)的值

若使三角形POQ面積為最大，則sin(角POQ)之值需為最大值，即1

得三角形POQ最大面積= (1/2)(√13)(1)(1) =√13/2

2013-08-17 03:07:20 補充：

更正:

2(1):

x²-2√3xy-y²

=cosB - (√3)sinB

= 2cos(B+π/3)

最大值=2, 最小值= -2