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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 8 年前

三角函數的應用

1.0<=x<=π,解方程式sin2x-cos2x=1

2.設P(x,y)為圓:x^2+y^2=1上任一點,O為原點,Q為點(3,-2),則

(1)x^2+2√3 xy-y^2的最大值為? 最小值為?

(2)三角形POQ面積的最大值為?

1 個解答

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  • 8 年前
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    1.

    sin2x - cos2x = 1

    sin2x = 1 - cos2x

    2(sinx)(cosx) = 2sin²x

    2sinx (cosx - sinx) = 0

    sinx =0 或 cosx =sinx

    x=0 或 x=π/4

    2.

    (1)

    代 x=cosA, y=sinA,得:

    x²-2√3xy-y²

    =cos²A+2(√3)cosAsinA-sin²A

    = cos2A - (√3)sin2A (因為cos²A-sin²A=cos2A)

    = cosB - (√3)sinB, B=2A

    cosB - (√3)sinB = Rcos(B+t)

    留意Rcos(B+t)

    = R(cosBcost - sinBsint)

    = (Rcost)cosB - (Rsint)sinB

    得 Rcost = 1 及 Rsint =√3

    解聯立方程得 R=2, t=π/3

    x²-2√3xy-y²

    =cosB - (√3)sinB

    = 2cos(B-π/3)

    最大值=2, 最小值= -2

    (2)

    OQ = √[3²+(-2)²] = √13 (畢氏定理)

    OP = 1 (圓半徑)

    三角形POQ面積 = (1/2)(OQ)(OP)sin(角POQ)

    因為OQ和OP是常數,故三角形POQ的面積取決於sin(角POQ)的值

    若使三角形POQ面積為最大,則sin(角POQ)之值需為最大值,即1

    得三角形POQ最大面積= (1/2)(√13)(1)(1) =√13/2

    2013-08-17 03:07:20 補充:

    更正:

    2(1):

    x²-2√3xy-y²

    =cosB - (√3)sinB

    = 2cos(B+π/3)

    最大值=2, 最小值= -2

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