依締 發問時間: 科學數學 · 7 年前

請教一題經濟學的數問題

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題目問的Capital Value(資產價值)與

各位求的PV(現值)是一樣的嗎?

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老怪物兄

perpetuity(永續)代表的是continuous(連續)嗎

我記得

compound interest 是: A=P( 1+ r/n ) ^ bt ~ 固定複利

compounded continuously是: A = Pe ^ rt ~ 連續性複利

其中連續性複利有包括perpetuity(永續)[0,∞)的意義嗎

請不吝賜教

多謝了...

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誰能正式回答,我想給點數~

8 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    income from an investment starts at $6000 a year and increases linearly and continuously at a rate of $200 a year

    y: income, in dollars

    t: time, in year.

    y(0) = 6000,

    dy(t)/dt = 200

    So, y(t) = 6000+200t,

    PV =∫_[0,T] y(t) e^{-rt} dt, r=0.05.

    2013-08-24 08:03:43 補充:

    若是永續的, 則

    PV = ∫_[0,∞) (6000+200t)e^{-0.05t} dt = 120000 + 80000 = 200000

    Ans. $200,000.00

    2013-08-31 09:38:16 補充:

    我記憶力很糟, 只能看著圖片把題目重新打出來放到這裡, 以便查閱.Suppose income from an investment starts at $6000 a year and

    increases linearly and continuously at a rate of $200 a year.

    Find the capital value at an interest rate of 5% compounded

    continuously.

    首先釐清一些疑問:(1) Capital Value(資產價值)與PV(現值)是一樣的嗎?

    就投資問題而言, 或在會計處理上, 一項投資的 capital

    value 就是該投資的 present value.

    (2) perpetuity(永續)代表的是continuous(連續)嗎?

    當然不是! continuously 是指變化為連續的.

    "increases linearly and continuously" 指的是投資獲

    得的收入變化採連續型處理. 令 y(t) 代表收入函數, 這

    y(t) 名為 t 時的收入卻不是真正的收入, 真正在一年內

    的收入是 y(t) 在某個長度為一年的區間的定積分.perpetual, 永續的. 如一個獎學金是永續的, 那就是定期

    會發放, 無終止時間.一個投資收益期可能是有限的, 也可能是永續的. 此題

    未明白敘述. 實務問題則根據實際情況決定; 但此題顯

    然是課業練習或測驗題, 只能做假設:[假設]

    因題目未明確說明投資收益是否永續不止, 更未說明資

    本化收入 (把收入之累計現值當成此投資之價值, 即是

    會計處理上所謂 "資本化".) 因此這裡假設此投資收益

    永續不止.

    凡涉及 "永續" 的收支問題, 必然不是簡單複利, 也不

    可能求算 "終值"(final value). 所以, 只有 "永續年

    金" 而無 "永續複利" 之說; 而且只會計算 "現值" 而

    不會考慮 "終值".

    所以, 這題是說:

    某投資的收益函數 y(t) 是

    (1) 直線性的; (2) y(0) = 6000; (3) dy(t)/dt = 200.

    也就是說: y(t) = 6000+200t, t≧0.資本化方式是 at an interest rate of 5% compounded

    continuously. 假設 5% 是指每年 5%, 實際年利率是

     r = lim_{n→∞} [(1+0.05/n)^n - 1]

      = e^0.05 - 1.

    因此, 以間斷型方式計算,

     Capital value = Y(1)/(1+r) + Y(2)/(1+r)^2 + ...

    其中 Y(1) = ∫_[0,1] y(t) dt, y(2) = ∫_[1,2] y(t) dt,

    以此類推.完全以連續型方式處理, t 時的收入 y(t) 現值是

     p(t) = y(t)/e^{0.05t}

    而此投資之資本化價值為

     Capital value = ∫_[0,∞) y(t)e^{-0.05t} dt

            = ∫_[0,∞) (6000+200t)e^{-0.05t} dt

    簡單的分部積分可以得到結果, 答案應是 $200,000.00

    2013-08-31 09:40:49 補充:

    [假設]

    因題目未明確說明投資收益是否永續不止, 更未說明資

    本化收入 (把收入之累計現值當成此投資之價值, 即是

    會計處理上所謂 "資本化") 考慮的有效期限, 因此這裡

    假設此投資收益永續不止.

    Ps.: 寫題解的建議: 把需要做的 assumption 明白寫出來.

    2013-08-31 09:43:29 補充:

    其實, 這是典型的 "等差變額永續年金現值" 練習題, "商用算術"

    或現稱 "複利數學" 的教本可能有公式, 實務上可以直接套用.

  • 匿名使用者
    6 年前

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  • 6 年前

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    6 年前

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  • 6 年前

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    6 年前

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  • 7 年前

    感覺上題目問得不是太清楚。

    Suppose income from an investment starts at $6000 a year and increases linearly and continuously at a rate of $200 a year. Find the capital value at an interest rate of 5% compounded continuously.

    即是你正在學 force of interest吧。

    題目沒有說清楚所找的present value (PV)是要視乎多少年的投資。

    2013-08-24 01:29:55 補充:

    先設是 T 年,那麼

    PV = 6000 * integrate from 0 to T { 200 v^t } dt

    where v = 1/1.05

    主要是 increases linearly and continuously 這裏不清晰。

    是否指 increases continuously at a constant rate of $200 p.a.?

    2013-08-24 15:42:42 補充:

    哦~ 老怪物是正確的~

    應該理解為 200t。

    謝謝你~

    另外,原來他是想計 perpetuity。

    高手!

    請回答~ =^o^=

    2013-08-24 16:00:46 補充:

    我每次看見 老怪物 也很開心,也感覺到他是資歷深厚的數學統計老師。

    也和他有相似的感受,現在的年青學生的態度實在有需要改善。

    不論是做人的態度、對數理的嚴謹執著、表達技巧、待人處世等等,有時令我們很失望。

    始終台灣這邊仍然好一點,我們香港那邊,我真是想說句「不知所謂」。

    大家都努力啦~

    2013-08-24 20:34:07 補充:

    flank,

    問:perpetuity(永續)代表的是continuous(連續)嗎?

    答:不是

    perpetuity 是 annuity的年期為無限。

    是關於年期的,跟利率的分野無關。

    即是可以是 annually compounded annuity, annually compounded perpetuity, continuously compounded annuity, continuously compounded perpetuity。

    2013-08-24 20:34:52 補充:

    如果你有學精算符號的話,那麼在符號上已經可以看清:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Actuarial_notation

    至於 Capital Value 是否 PV,那要視乎你課本上定義的Capital Value 是指什麼。

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