怡雯 發問時間: 科學數學 · 8 年前

高中銜接數學問題><20點:)

* X^2+4X-9=0之兩根為a和b,則:

(1)a^2+b^2=

(2)a^3+b^3=

(3)1/a+1/b

* 有理化立方根式的分母

(1)1/3更號^3-1

* 試解 -4/a+1/b=1

ab=2

已更新項目:

第二題: 1/∛3-1

2 個解答

評分
  • 8 年前
    最佳解答

    1.

    a 和 b 是 x² + 4x - 9 = 0

    兩根之和: a + b = -4

    兩根之積: ab = -9

    (1)

    a² + b²

    = (a² + 2ab + b²) - 2ab

    = (a + b)² - 2ab

    = (-4)² - 2(-9)

    = 34

    (2)

    a³ + b³

    = (a + b)(a² - ab + b²)

    = (a + b) [(a² + 2ab + b²) - 3ab]

    = (a + b) [(a + b)² - 3ab]

    = (-4) [(-4)² - 3(-9)]

    = -172

    (3)

    (1/a) + (1/b)

    = (a + b) / ab

    = (-4) / (-9)

    = 4/9

    *****

    2.

    1 / [(³√3) - 1]

    = [(³√3)² + (³√3) + 1] / {[(³√3) - 1] [(³√3)² + (³√3) + 1]}

    = [(³√9) + (³√3) + 1] / (3 - 1)

    = [(³√9) + (³√3) + 1] / 2

    *****

    3.

    -(4/a) + (1/b) = 1 ...... [1]

    ab = 2 ...... [2]

    由 [1]:

    (a - 4b) / ab = 1

    ab = a - 4b ...... [3]

    [2] = [3] :

    a - 4b = 2

    a = 4b + 2 ...... [4]

    把 [4] 代入 [2] 中:

    (4b + 2)b = 2

    4b² + 2b = 2

    2b² + b - 1 = 0

    (2b - 1)(b + 1) = 0

    b = 1/2 或 b = -1

    當 b = 1/2:

    把 b = 1/2 代入 [4] 中:

    a = 4(1/2) + 2

    a = 4

    當 b = -1:

    把 b = -1 代入 [4] 中:

    a = 4(-1) + 2

    a = -2

    所以 a = 4, b = 1/2 或 a = -2, b = -1

    參考資料: 胡雪
  • Wen
    Lv 5
    8 年前

    第一題

    利用公式解 x = -2 - √13,-2+√13,設小的根是a,大的根是b

    這幾小題你可以直接乘開來後計算,但是在此不這麼做

    1) a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-4)^2 - 2 (-2 - √13)(-2 + √13)

    = 16 - 2 [(-2)^2 - (√13)^2] = 16 - 2×(4 - 13) = 34

    ps ab = (-2 - √13)(-2 + √13)是平方差的型態

    = (-2)^2 - (√13)^2

    2)利用上題結果,以及立方和公式

    a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) = (a+b)(a²+b²-ab) = (-4) (34 - (-9)) = -172

    3)

    1/a + 1/b =(a + b)/ab,剩下的自行練習一下吧。

    第二題

    有理化 1/∛3-1

    利用立方差 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

    令a = ∛3, b = 1

    所以我們要乘上一個數來讓分母有理化卻又不能改變原本的值

    =>

    1/(a - b)] × [(a²+ab+b²)/(a²+ab+b²)]

    分開討論

    分母 = a³-b³ = 3-1 = 2

    分子 = ∛9 + ∛3 +1

    合併就完成了

    第三題

    -4/a+1/b=1 & ab=2

    前面的式子先整理一下,等號左右同乘 ab

    -4b + a = ab = 2

    ∵ab = 2 =>b = 2/a 代入上式

    =>-4/a + a = 2

    => -4 + a² = 2a

    => a² - 2a - 4 = 0

    a = 1+√5, 1-√5

    把a等於不同情況的b算出即可,然後順便練習把b有理化吧。

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