扁頭科學 發問時間: 科學數學 · 7 年前

鴿籠原理數學題

基礎數學距離期末考尚有 37 天。小明決定每天最少讀 1 小時,然後預計總共

花 60 小時準備。不管小明如何安排他的時間表(以小時為單位),一定有連續

幾天合起來剛好花 13 小時在基礎數學上。

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  • 7 年前
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    問題

    基礎數學距離期末考尚有 37 天。小明決定每天最少讀 1 小時,然後預計總共花 60 小時準備。不管小明如何安排他的時間表(以小時為單位),一定有連續幾天合起來剛好花 13 小時在基礎數學上。

    意見

    典型的鴿籠題。

    你看到 60+13 = 37*2-1 就知了。 =^o^=

    解答

    設 a1, a2, ..., a37 為由第一天開始計起的累積讀基礎數學的時數。

    舉例: 如第一天讀2小時, 第二天讀5小時, 第三天讀9小時, 那麼 a1=2, a2=7, a3=16。

    留意 a1, a2, ..., a37 這37個數, 配合:

    a1+13, a2+13, ..., a37+13 這37個數, 共 37*2 = 74個數。

    注意這74個數均大於0, 也小於60+13=73 (因為總累積時數只是60)。

    換句話, 這74個數只能夠是在{1, 2, 3, ..., 73}當中選取。

    所以用鴿籠原理(Pigeonhole Principle)得知74個數之中起碼有兩個相同。

    由於每天最少讀 1 小時, 所以 a1, a2, ..., a37 必全部相異。

    同理a1+13, a2+13, ..., a37+13 這37個數必全部相異。

    所以相同的只可能是 a_j 和 a_i + 13。

    由於當 i > j 的時候, a_i + 13 > a_i > a_j,

    而且明顯 i ≠ j, 否則 a_j 和 a_i + 13 不可能相同,

    所以可設 i < j。

    a_j = a_i + 13 且 i < j

    因此, 由第 i+1 天 到 第 j 天, 小明剛好花了 13 小時在基礎數學上。

    也請參考以下的連結, 看更多鴿籠原理的例題。

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