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扁頭科學 發問時間: 科學數學 · 8 年前

統計(最大概度和unbias)

Let X1, X2, ··· , Xn be a random sample from an exponential distribution (i.e., gamma distribution with α = 1 for f(x; α, θ) = (θ^α/Γ(α)) * x^(α−1) * e^(−θx)) with probability density function (p.d.f.)

f(x; θ) = θ * e^(−θx), 0 < x < ∞, θ ∈ Ω = {θ : 0 < θ < ∞}.

Let Y =Σ (i=1 to n) Xi = X1 + X2 + ··· + Xn.

(a) What is the distribution of Y ?

(b) Show that Y is a sufficient statistic for θ.

(c) Show that (n−1)/Y is an unbiased estimator of θ.

(d) Find the maximum likelihood estimator of θ.

(e) Use the following data to give a point estimate of

θ: 2.3 3.5 4.2 4.0 3.8

Please specify which estimator you decide to use and why.

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謝謝幫忙~!

已更新項目:

老怪物你好,我統計最近才開始學,感覺用到很多機率的東西,

但是機率沒有學好,感覺很吃力,謝謝您的幫忙,能不能移到

回答區?

1 個解答

評分
  • 8 年前
    最佳解答

    (a) 先證明 gamma distribution 之 additive property.

    然後可得此小題之答案: gamma distribution with

    shape parameter n and scale parameter θ (或習慣

    上 shape parameter 是放在分母, 所以是 1/θ).

    (b) 應用 "因子分解定理" 立即可得.

    (c) 簡單的計算, E[(n-1)/Y] 並不難算.

    (d) Likelihood function 為 θ^n e^{-θΣx_i}.

    取對數, 應用微分求極值.

    2013-10-01 13:02:18 補充:

    (e) 只是套用 (c) 之 unbiased estimator 及 (d) 之

    maximum likelihood estimator 做計算. 而且事實

    上都是 sample mean 的倍數.

    2013-10-02 13:50:12 補充:

    (a) 先證明 gamma distribution 之 additive property.

    然後可得此小題之答案: gamma distribution with

    shape parameter n and scale parameter θ (或習慣

    上 shape parameter 是放在分母, 所以是 1/θ).

    所謂 gamma function 的 additive prpperty, 是:

    若 U, V 是相互獨立隨機變數, 各自服從 shape parameter α1, α2,

    共同之 scale parameter β 的 gamma distribution, 則 U+V 服從

    shape parameter α1+α2, scale parameter β 的 gamma distribution.

    證明方式: 最簡便的是利用動差母函數(moment generating function)

    或特性函數(characteristic function); 另法是直接積分:

     P[U+V≦w] = ∫_[0,w]∫_[0,w-u] f1(u)f2(v) dv du

    其中 f1(u) = u^{α1-1}e^{-u/β}/(Γ(α1)β^{α1}), f2(v) 類似. 積分時可做個雙變數的積分變數變換 x=u/(u+v), y=u+v. 這個積分與在證明 gamma

    function 與 beta function 時做的幾乎是完全一樣的.

    當然有時答題時只需引用, 而不需去證明. 引用 gamma distribution

    的 additive property, 則得證 Y = ΣXi 服從 gamma distribution,

    如前述.

    (b) 應用 "因子分解定理" 立即可得.

    X1,...,Xn 之聯合 p.d.f. 為

     f(x_1,...,x_n;θ) = f_1(x_1)....f_1(x_n) = θ^n e^{-θ Σx_i}

    故 f(x_1,...,x_n;θ) = g(y;θ)h(x_1,...,x_n;y), 其中 g(y;θ) = θ^n e^{-θy}, y>0; h(x_1,...,x_n;y) = 1 for all x_1,...,x_n, y.

    由因子分解定理, 知 Y = Σ Xi = X1+...+Xn 是 θ 的充分統計量.

    (c) 簡單的計算, E[(n-1)/Y] 並不難算.

    由 (a) 得 Y 之 p.d.f. 為

    g(y;θ) = [θ^n y^{n-1}/(n-1)!]e^{-θy}, y>0; = 0, elsewhere.

    所以

    E[(n-1)/Y] = ∫_(0,∞) [θ^n y^{n-2}/(n-2)!] e^{-θy} dy

    提出一個 θ, 剩下的是一個 gamma p.d.f. 在其有效範圍的積分.

    因此得 E[(n-1)/Y] = θ. 即: (n-1)/Y 是 θ 的一個不偏估計.

    (d) Likelihood function 為 θ^n e^{-θΣx_i}.

    取對數, 應用微分求極值.

    log-likelihood:

     L(θ;x_1,...,x_n) = n ln(θ) - θ(Σx_i)

    對 θ 微分, 很容易得臨界值 θ^ = n/(Σx_i), 並且很容易判斷出

    這是 L(θ) 的唯一極大所在. 因此 θ 的 MLE 是 n/ΣXi.

    (e) 只是套用 (c) 之 unbiased estimator 及 (d) 之

    maximum likelihood estimator 做計算. 而且事實

    上都是 sample mean 的倍數.

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