三角函數實根問題

Question

使得方程式x/a=sin(pi/4 乘上x) 有11個實根之正整數a共有____________個

(方程式a分之x=sin(4分之pi乘上x))

Answer 1

最佳解答

x /a = sin﹝(Π/4)x﹞

令f(x) = x /a

因為f(-x) = (-x)/a = -(x/a) = -f(x)

故 x /a對稱於原點

﹝x /a , x>0﹞與﹝x /a , x<0﹞也對稱於原點

令g(x) = sin﹝(Π/4)x﹞

因為g(-x) = sin﹝(Π/4)(-x)﹞= - sin﹝(Π/4)x﹞= -g(x)

故sin﹝(Π/4)x﹞對稱於原點

故﹝sin﹝(Π/4)x﹞, x>0﹞與﹝sin﹝(Π/4)x﹞, x<0﹞也對稱於原點

基於以上對稱性,及x /a = sin﹝(Π/4)x﹞在x=0有1個實根,

故得x /a = sin﹝(Π/4)x﹞在x>0有5個實根 ……… ★

以下混用兩種方法找實根:

用粗略的作圖找明顯的實根;用精確的計算找作圖看不見的實根.

在作圖之前,先分析sin﹝(Π/4)x﹞及x /a這兩個函數的特性如下:

sin x為周期函數,周期為2Π,即sin (x+2Π) = sin x ,對所有x屬於R

(Π/4)x = 2Π,解得x=8

故sin﹝(Π/4)x﹞為周期函數,周期為8

且sin﹝(Π/4)x﹞的振幅為1, 波峰出現在2+8K,其中K為整數.

x /a為直線函數,斜率為1/a

連接 (0,0) , (a,0) , (a,1)即成一個直角三角形,斜邊的斜率為1/a

此直角三角形的最高點y值為1,恰與sin﹝(Π/4)x﹞的振幅相同,作圖時須注意.

此直角三角形斜邊的延伸線即為直線函數x /a

接著根據以上兩個函數的特性分析,分別作圖

當然,作圖只要作x>0的部分即可 (依據★的結論)

sin﹝(Π/4)x﹞可以多作幾個週期的圖,以方便找根

(實際試的結果4個週期就夠,也就是作x=0到x=32)

根據作圖的結果, x /a = sin﹝(Π/4)x﹞在x>0部分的實根數為:

當a≦16時,在x>0部分最多只有3個實根.

當a=17時

(0,4)有1個實根, (8,12)有2個實根

x=17時, x/a=17/17=1,

sin﹝(Π/4)x﹞=sin(17Π/4)=sin(4Π+Π/4)=sin(Π/4)=√2/2≒0.71

故x=17時, x/a與 sin﹝(Π/4)x﹞的高度相差0.29,所以兩者在x=17附近不相交.

故a=17時,在x>0部分有3個實根.

當a=18時

(0,4)有1個實根, (8,12)有2個實根, x=18也是1個根(因為18/18 = sin(18Π/4) = 1 ).

17<x<18-δ是否有實根? (δ是微小值)

作圖看不出來,所以用計算:

令h(x) = x /a - sin﹝(Π/4)x﹞

因為x/a 、sin﹝(Π/4)x﹞皆為有界連續函數,故h(x)為連續函數

h(17)=17/18-sin(17Π/4)≒0.237

取δ=0.1, h(18-δ)=h(17.9) ≒-0.00247

故h(17)．h(17.9)<0, 依據勘根定理,在(17,17.9)有一實根

所以a=18時,在x>0部分有5個實根.

當19≦a≦24時

(0,4)有1個實根, (8,12)有2個實根, (16,20)有2個實根

故19≦a≦24時,在x>0部分有5個實根.

當a=25時

(0,4)有1個實根, (8,12)有2個實根, (16,20)有2個實根

仿照a=17時的討論,兩者在x=25附近不相交.

故a=25時,在x>0部分有5個實根.

當a=26時

(0,4)有1個實根, (8,12)有2個實根, (16,20)有2個實根, x=26也是1個根

以上在x>0部分已有6個根>5,所以a=26不合.

(其實仿照a=18時的勘根方式,(17,17.9)還有一實根)

總結以上,在x>0部分滿足5個實根條件的a為18~25的正整數,

總共=25-17=8個

a為18~25的正整數時, 依據★的對稱性,會有11個實根

Ans: 8個 (a為18~25的正整數)

2013-10-14 14:48:02 補充：

倒數第5行應更正為

(25,25.9)還有一實根