第二冊模擬考題

Question

最近寫老師給我們的摩模擬考考卷 有些問題不太懂想請問大家 謝謝

1.請利用 2(√ n-√ (n+1) ) > 1/√ n > 2(√ (n+1)-√ n) , n屬於n

估計 Σ(n=1 to 900) 1/√n 的等數部份為何?

這題我把他列舉幾項 發現 大於小於的2邊都會消掉 (不確定大於小於旁的能不能

加起來)

會變成 2(√900) > Σ1/√n > 2(√901-√2) 再來就不知道怎麼算了

(ANS:58)

已更新項目:

請問一下地二種方法 要怎麼確定整數部分是58還是59?

Answer 1

最佳解答

應該跟我一樣是高中生:)) 參考一下~

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方法一 :

2S=1+1/√2+....+1/n

S = 1/2 +1/2√2+....+1/2√n^2

S-1/2 < 1/(√1+√2)+....+1/(√n^2-1+√n^2)

S-1/2 < n-1 => 2S<2n-1

S-1/2n > 1/(√1+√2)+.....+1/(√n^2-1+√n^2)

S-1/2n >n-1 => 2S>(2n-1)+(1/n-1)

得知整數部分為2n-2

此題n=30 , 所以整數部分為58.

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方法二 :

2(√ n-√ (n-1) ) > 1/√ n > 2(√ (n+1)-√ n)

2(√900) > Σ1/√n > 2(√901-√1)

60 > Σ1/√n > 2(29.xxxxx......)

60 > Σ1/√n > 58.yyyyyy......

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以上幾種方法希望對您有幫助.

2013-10-15 18:56:59 補充：

因為(√901-√1) 非常非常的接近 √900-√1)=29

參考資料： mE

Answer 2

利用 2(√ n - √ (n-1) ) > 1/√ n > 2(√ (n+1) - √ n)

當 n=1 時, 2(√ 1 - √ 0) > 1/√ 1 > 2(√ 2 - √ 1)

即 2 > 1/√ 1 > 2(√ 2 - 1)

所以

Σ(n=1 to 900) 1/√n

= 1/√ 1 + Σ(n=2 to 900) 1/√n

< 1 + 2*Σ(n=2 to 900) (√n - √ (n-1)

= 1 + 2*(√900 - √ 1)

= 1 + 2*29

= 59

同時

Σ(n=1 to 900) 1/√n

> 2*Σ(n=1 to 900) (√(n+1) - √ n)

= 2*(√901 - √ 1)

= 2*(30.016662 - 1)

= 58.033324

所以 59 > Σ(n=1 to 900) 1/√n > 58.033324

所以 Σ(n=1 to 900) 1/√n 的整數部份是 58。