扁頭科學 發問時間: 科學數學 · 7 年前

統計學(最大概度和順序統計)

Let Y1 < Y2 < Y3 < Y4 be the order statistics of a random sample X1, X2, X3, X4 from a uniform distribution U(θ,0), θ < 0.

(a) Find the maximum likelihood estimator of θ.

(b) Find the probability density function of Y1.

2 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    以下我考慮一般大小為 n 的樣本. 本例是 n=4.

    (a)

    為了寫 likelihood 的方便, 需要用到 indicator function.

    Xi 的 p.d.f. 用 indicator function 來寫, 變成

     f1(x;θ) = [1/(-θ)]I_[θ,0](x)

    故樣本 X1,X2,...,Xn 的聯合 p.d.f. 成為

     f(x_1,x_2,...,x_n;θ) = [1/(-θ)^n]I_[θ,0](y_1)Π_{i=1 to n}I_[y_1,0](x_i)

    其中 y_1 = min{x_1,x_2,...,x_n}.

    改成 likelihood function, θ 成為(主要)變數, 因此 I_[θ,0](y_1) 變成

    I_(-∞,y_1](θ). 前者是 θ≦y_1≦0 時才是 1, 其他為 0; 後者在 y_1 給

    定之下, θ≦y_1 才是 1, 其他情形為 0. 即

     L(θ;x_1,x_2,...,x_n) = [1/(-θ)^n]I_(-∞,y_1](θ)×(與 θ 無關的項)

    在 θ≦y_1 的範圍內, -θ 愈大則 likelihood 愈小, 因此 -θ 應儘量小,

    也就是 θ 儘量大, 以便提高 L(θ) 的值. 但 θ 超過 y_1 時 likelihood

    變成 0. 因此, 使 L(θ) 最大化的 θ 值是 y_1, 用符號表示:

     arg max L(θ) = y_1

    即: θ 的 MLE 是 Y1 = min{X1,X2,...,Xn}.

    (b)

    P[Y1>y] = P[X1>y,X2>y,...,Xn>y] = (P[X1>y])^n

    P[X1>y] = 1   if y < θ;

        = y/θ  if θ≦ y ≦ 0;

        = 0  if y>0.

    所以,

    P[Y1>y] = 1    if y < θ;

        = (y/θ)^n if θ≦ y ≦ 0;

        = 0    if y>0.

    故 Y1 之 p.d.f. 為:

    h(y1) = [n/(-θ)](y/θ)^{n-1}, 當 θ≦ y ≦ 0;

       = 0,        其他處.

    2013-10-19 08:21:35 補充:

    你沒說我還沒注意, 先前似乎是2級吧, 現在變1級.

    不過, 對這個等級我其實很不以為然. 以前我用的

    自訂圖示是抓 "知識貧民" 的圖改的, 後來不知怎

    的顯示不出來了, 就算了.

  • ?
    Lv 7
    7 年前

    每次見到 老怪物 ( 大師 1 級 ) 我都很高興~

    這幾天我們那邊都多了同學問概率題~

    ^__^

    周末愉快~

    ☆ヾ(◕‿◕)ノ

    也恭喜升級了~

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