依締 發問時間: 科學數學 · 7 年前

請問一題數學線性代數問題

請問高手

一題線性代數問題

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=flank0001&b=...

謝謝

已更新項目:

1. minimal polynomial 為何是 (x-2)^2 而不是x-2

2.Jordan Form 為何a12=1:a23=0:若a=2是三重根,不是應 a12=a23=1?

謝謝...

2 個已更新項目:

Yan兄:

1.若依照minimal polynomial 的定義,x=2代進去,f(2)=0,故minimal polynomial 應是 (x-2)才是啊.

2.Jordan form可以用口語方式簡單說明嗎?謝謝....

3 個已更新項目:

Sam 兄

1.

經驗證(A-2I)=0;且(A-2I)^2=0

另依定義:

λ is a root of μA, =>λ=2為 μA(x=2)之一根.ok!

λ is a root of the characteristic polynomial χA of A, =>λ=2為特徵多項式(x-2)^3之根.ok!

λ is an eigenvalue of matrix A. =>λ=2為矩陣A之特徵值.ok!

故x=2為A之最小多項式。

4 個已更新項目:

另定義:在抽象代數中,一個域上的代數的元素a 之極小多項式(或最小多項式)是滿足 P(a) = 0 的最低次首一多項式 P

以上a=2,能讓 P(a) = 0 滿足,故最低次首一多項式 P=x-2

綜合以上三種驗證,A之最小多項式應為x=2。

5 個已更新項目:

2.Jordan form有個比較簡單的做法

a is an eigenvalue of A

(ii)nullity(A-aI)^k+1-nullity(A-aI)^k=number of Jordan block with 1 at (k,k+1)-entry

依照本題,a=2,2,2,

(A-aI)^1=2

(A-aI)^2=0

nullity(A-aI)^k+1-nullity(A-aI)^k= -2<0(為何小於0)

如果是顛倒

nullity(A-aI)^k-nullity(A-aI)^k+1=2,

那應該是a23=1,但答案卻是a12=1

為什麼如此?

謝謝...

6 個已更新項目:

多謝sam

小弟大學研讀四學期的工數,卻不見有Jordan form的做法?

(好像是線代才出現,但卻沒交待過程)

請問哪一本出版社的工數?

謝謝....

7 個已更新項目:

多謝您詳細提點~~

2 個解答

評分
  • Yan
    Lv 5
    7 年前
    最佳解答

    Please read:

    Jordan form比較偏計算,若有誤請提出

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AC00663814/o/2013102112...

    2013-10-21 21:38:34 補充:

    是(x-2)^2才對 忘記上標

    minimal polynomial 的定義是一個最小多項式f使得代A進去,有f(A)=0

    2013-10-21 21:45:26 補充:

    Jordan form有個比較簡單的做法

    a is an eigenvalue of A

    (i) nullity(A-aI)^k=n for all k>l for some l, then there are n "a"s at the diagonal entry

    (ii)nullity(A-aI)^k+1-nullity(A-aI)^k=number of Jordan block with 1 at (k,k+1)-entry

    Do this process for all eigenvalue

    Then you can get its Jordan form

    2013-10-24 00:30:59 補充:

    http://imm.io/1jdrb

    http://imm.io/1jdrj

    Jordan form 的簡單介紹 請參考

  • Sam
    Lv 6
    7 年前

    (a) The minimal polynomial of A is (x-2)^2.

    2013-10-21 14:19:30 補充:

    For the minimal polynomial μA of an n-by-n matrix A over a field F,

    please refers to:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_%2...

    2013-10-21 14:28:20 補充:

    How to find the matrix P of A, please see

    'Generalized eigenvectors' in :

    http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_form

    2013-10-23 03:21:07 補充:

    1. matrix A 之minimal polynomial 為何是 (x-2)^2 而不是x-2

    [ans[

    matrix A 之minimal polynomial f(x)是:

    (1) f(A)=0{0矩陣}

    (2) 若 g(A)=0 則 deg(f)<=deg(g)

    I為單位矩陣

    (A-2I)=0嗎?

    (A-2I)^2=0嗎?

    請自己驗證?

    還是請把我附之資料研究一下吧.

    2013-10-23 03:24:34 補充:

    在抽象代數中,一個域上的代數的元素a 之極小多項式(或最小多項式)是滿足 P(a) = 0 的最低次首一多項式 P。

    2013-10-23 23:41:23 補充:

    經驗證(A-2I)=0;且(A-2I)^2=0

    [ans]

    A-2I=

    0 1 1

    0 0 0

    0 0 0

    怎麼會=0矩陣?

    2013-10-23 23:48:22 補充:

    a23=1,但答案卻是a12=1

    [ans]

    a23=1或a12=1都可以,

    只是三個Generalized eigenvectors

    排列次序不同所產生之結果.

    就像對角化, eigenvectors排列次序

    不同所產生之對角矩陣不同.

    2013-10-23 23:53:15 補充:

    不過一般把次對角之元素1多的寫上面,見

    http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_form

    所附之圖.

    2013-10-24 01:41:02 補充:

    如果你想知道如何計算,

    去買一本工數考研題庫,

    看相關題目的做法,就知道,

    但是要了解作法之道理,

    就要看線性代數教科書了.

    2013-10-24 15:12:19 補充:

    小弟大學研讀四學期的工數,卻不見有Jordan form的做法?

    (好像是線代才出現,但卻沒交待過程)

    請問哪一本出版社的工數?

    [ANS]

    對不起.是線代才沒錯.

    整合線性代數 ...張子浩 第五章

    page 5-42[例說7],5-45[例說8],5-57[範例4]

    有三個實作例子.{不過先聲明,不好讀懂}

    2013-10-24 15:30:19 補充:

    電機現代(電子所,機電所,資工所)......陳立.林易

    page 9-21[範例4] 9-22[範例5] 9-24[範例7]

    9-35[範例14] 9-37[範例15] 9-38[範例16]

    其中[範例7,14,15,16]是Jordan form 之應用

    每題都有Generalized eigenvectors

    和Jordan form 實際之計算,比張子浩 的書容易看懂.

    你可以到圖書館看看.

    2013-10-24 17:19:02 補充:

    請看:

    https://www.facebook.com/sam.guo.3762/media_set?se...

    2013-10-24 17:20:51 補充:

    圖片下載再參考.圖片下載再參考.

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