請問一題數學線性代數問題
1. minimal polynomial 為何是 (x-2)^2 而不是x-2
2.Jordan Form 為何a12=1:a23=0:若a=2是三重根，不是應 a12=a23=1?
謝謝...
Yan兄:
1.若依照minimal polynomial 的定義，x=2代進去，f(2)=0，故minimal polynomial 應是 (x-2)才是啊.
2.Jordan form可以用口語方式簡單說明嗎?謝謝....
Sam 兄
1.
經驗證(A-2I)=0；且(A-2I)^2=0
另依定義：
λ is a root of μA, =>λ=2為 μA(x=2)之一根.ok！
λ is a root of the characteristic polynomial χA of A, =>λ=2為特徵多項式(x-2)^3之根.ok!
λ is an eigenvalue of matrix A. =>λ=2為矩陣A之特徵值.ok!
故x=2為A之最小多項式。
另定義：在抽象代數中，一個域上的代數的元素a 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 P(a) = 0 的最低次首一多項式 P
以上a=2，能讓 P(a) = 0 滿足，故最低次首一多項式 P=x-2
綜合以上三種驗證，A之最小多項式應為x=2。
2.Jordan form有個比較簡單的做法
a is an eigenvalue of A
(ii)nullity(A-aI)^k+1-nullity(A-aI)^k=number of Jordan block with 1 at (k,k+1)-entry
依照本題，a=2,2,2，
(A-aI)^1=2
(A-aI)^2=0
nullity(A-aI)^k+1-nullity(A-aI)^k= -2<0(為何小於0)
如果是顛倒
nullity(A-aI)^k-nullity(A-aI)^k+1=2,
那應該是a23=1,但答案卻是a12=1
為什麼如此?
謝謝...
多謝sam
小弟大學研讀四學期的工數，卻不見有Jordan form的做法?
(好像是線代才出現，但卻沒交待過程)
請問哪一本出版社的工數?
謝謝....
多謝您詳細提點~~
2 個解答
- YanLv 57 年前最佳解答
Please read:
Jordan form比較偏計算，若有誤請提出
圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC00663814/o/2013102112...
2013-10-21 21:38:34 補充：
是(x-2)^2才對 忘記上標
minimal polynomial 的定義是一個最小多項式f使得代A進去，有f(A)=0
2013-10-21 21:45:26 補充：
Jordan form有個比較簡單的做法
a is an eigenvalue of A
(i) nullity(A-aI)^k=n for all k>l for some l, then there are n "a"s at the diagonal entry
(ii)nullity(A-aI)^k+1-nullity(A-aI)^k=number of Jordan block with 1 at (k,k+1)-entry
Do this process for all eigenvalue
Then you can get its Jordan form
2013-10-24 00:30:59 補充：
Jordan form 的簡單介紹 請參考
- SamLv 67 年前
(a) The minimal polynomial of A is (x-2)^2.
2013-10-21 14:19:30 補充：
For the minimal polynomial μA of an n-by-n matrix A over a field F,
please refers to:
http://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_polynomial_%2...
2013-10-21 14:28:20 補充：
How to find the matrix P of A, please see
'Generalized eigenvectors' in :
http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_form
2013-10-23 03:21:07 補充：
1. matrix A 之minimal polynomial 為何是 (x-2)^2 而不是x-2
[ans[
matrix A 之minimal polynomial f(x)是:
(1) f(A)=0{0矩陣}
(2) 若 g(A)=0 則 deg(f)<=deg(g)
I為單位矩陣
(A-2I)=0嗎?
(A-2I)^2=0嗎?
請自己驗證?
還是請把我附之資料研究一下吧.
2013-10-23 03:24:34 補充：
在抽象代數中，一個域上的代數的元素a 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 P(a) = 0 的最低次首一多項式 P。
2013-10-23 23:41:23 補充：
經驗證(A-2I)=0；且(A-2I)^2=0
[ans]
A-2I=
0 1 1
0 0 0
0 0 0
怎麼會=0矩陣?
2013-10-23 23:48:22 補充：
a23=1,但答案卻是a12=1
[ans]
a23=1或a12=1都可以,
只是三個Generalized eigenvectors
排列次序不同所產生之結果.
就像對角化, eigenvectors排列次序
不同所產生之對角矩陣不同.
2013-10-23 23:53:15 補充：
不過一般把次對角之元素1多的寫上面,見
http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_form
所附之圖.
2013-10-24 01:41:02 補充：
如果你想知道如何計算,
去買一本工數考研題庫,
看相關題目的做法,就知道,
但是要了解作法之道理,
就要看線性代數教科書了.
2013-10-24 15:12:19 補充：
小弟大學研讀四學期的工數，卻不見有Jordan form的做法?
(好像是線代才出現，但卻沒交待過程)
請問哪一本出版社的工數?
[ANS]
對不起.是線代才沒錯.
整合線性代數 ...張子浩 第五章
page 5-42[例說7],5-45[例說8],5-57[範例4]
有三個實作例子.{不過先聲明,不好讀懂}
2013-10-24 15:30:19 補充：
電機現代(電子所,機電所,資工所)......陳立.林易
page 9-21[範例4] 9-22[範例5] 9-24[範例7]
9-35[範例14] 9-37[範例15] 9-38[範例16]
其中[範例7,14,15,16]是Jordan form 之應用
每題都有Generalized eigenvectors
和Jordan form 實際之計算,比張子浩 的書容易看懂.
你可以到圖書館看看.
2013-10-24 17:19:02 補充：
請看:
https://www.facebook.com/sam.guo.3762/media_set?se...
2013-10-24 17:20:51 補充：
圖片下載再參考.圖片下載再參考.
