高一數學，求詳解！（急！20點！）

Question

1.設a、b、c為整數，且x^4+ax^3+bx^2+cx+9=0之四根為相異之有理數，求a、b、c之值。
（1.是多項式的運算及應用）

2.設α為實數，令α、β為二次方程式x^2+ax+(a-2)=0的兩個根，試問當α為何值時，|α-β|有最小值？

3.設a、b是整數，且b不等於0，已知c=a/3+b‎√2i/3是實係數一元二次方程式x^2+kx+1=0的一個解，請問下列哪些選項是正確的？
(1)1/c是上述方程式的另一個解 (2)1/c=a/3-b‎√2i/3 (3)c+1/c=k
(4)k一定是整數 (5)a一定是奇數

4.設整係數方程式x^4+3x^3+bx^2+cx+10=0有四相異有理根，求此四根。

5.已知實係數多項式方程式x^3+ax+bx+8=0的三根相同，請問b的值等於下列何者？
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12 (E)14

6.設三次方程式x^3-17x^2+32x-30=0有兩複數根a+i、1+bi，其中a、b是不為0的實數，試求它的實根。
（2.~6是多項式方程式(i、α、β等)）

1.→a=0 b=-10 c=0
2.→2  
3.→(1)(2)(5)
4.→1、-1、2、-5
5.→(D) 
6.→15
這些是這六題的答案，但是沒有詳解Q_Q
這些章節的基本題我會，但這些我不知道該從何算起...

請數學強人幫忙！

ken · Accepted Answer

1.因為a、b、c為整數 又方程式可能有理根為1、-1、3、-3、9、-9
  由根與係數可得:四根乘積為9，所以可得知此方程式四根為1、-1、3、-3
  得方程式=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)=x^4-10x^2+9，故a=0 b=-10 c=0

2.|α-β|=‎√(α-β)^2(次方在根號裡面)
  由根與係數可得:α+β=-a，αβ=a-2
  (α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=a^2-4a+8
  a^2-4a+8=(a-1)^2+6，故當a=1時，|α-β|有最小值‎√6

3.由根與係數可得:兩根乘積為1，而一根為c，故另一根為1/c。兩根相加為-k，所以(1)正確、(3)錯誤
  實係數方程式虛根必共軛成對，所以一根為a/3+b‎√2i/3，另一根必為a/3-b‎√2i/3，所以(2)正確
  由兩根乘積為1可得(a/3+b‎√2i/3)(a/3-b‎√2i/3)=1，a^2+2b^2=9，可找到有整數解為(1，2)
  在不失一般性的情況下，可令a=1、b=2代入，得k=-2/3 故(4)錯誤，(5)正確

4.由根與係數可得四根之和為-3、四根乘積為10，又方程式可能有理根為1、-1、2、-2、5、-5、10、-10
  故可得四根為1、-1、2、-5

5.三根相同，有三重根，所以方程式只有一種可能為(x+2)^3
  (x+2)^3展開得x^3+6x^2+12x+8，所以b=12

6.因為方程式為實係數方程式，故虛根必共軛成對，所以a-i=1+bi，a=1、b=-1
  由根與係數可得三根之和為(1+i)+(1-i)+實根=17，2+實根=17，實根=15

月戀乂楓兒 · Answer

大大安安喔~
雖然我不是數學強人((路過的~
不過有些題我可以告訴你訣竅XDDD

1.設a、b、c為整數，且x^4+ax^3+bx^2+cx+9=0之四根為相異之有理數，求a、b、c之值。
（1.是多項式的運算及應用）

Ans:
x^4+ax^3+bx^2+cx+9=0 它說四根為相異 之有理數 
so 可設為(x-d)(x-e)(x-f)(x-g)=0((懂嗎?
它不是有說常數項是9
so (d x e x f x g)=9
要等於9只有3  x -3  x1  x  -1   = 9
才能符合四根為相異之有理數  
在乘出來就能知道a b c d

(2.)(3.)我不太了解 SORRY

4.設整係數方程式x^4+3x^3+bx^2+cx+10=0有四相異有理根，求此四根。
跟第一題是一樣的做法
它的重點就是在常數項10
  不會做在跟我說喔~
 
5.已知實係數多項式方程式x^3+ax+bx+8=0的三根相同 ，請問b的值等於下列何者？
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12 (E)14

看到三根相同 又是三次式
就要知道是2的三次方才會等於8
而且要+8 so 要3個+2
(x+2)(x+2)(x+2)=0
乘出來就知道了

6.設三次方程式x^3-17x^2+32x-30=0有兩複數根a+i、1+bi，其中a、b是不為0的實數，試求它的實根。
（2.~6是多項式方程式(i、α、β等)）
Ans: 你知道共軛複數嗎?
    z = a+ bi 為一複數，且a, b都為實數，則a稱作實部，b稱作虛部

z的共軛複數為a - bi

so a+i & 1+bi= 1+i & 1-i 
用x=1+i
   x-1=i
  (x-1)^2=(i)^2
   x-2x+2=0
  在用原式除我們剛得到的x-2x+2=0
  x^3-17x^2+32x-30/ x-2x+2
  出來就會是我們要求的
  
我知道我說得很爛..OAO
拜託別罵我..
僅供參考喔...

有問題在和我說吧

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