米葉子 發問時間: 科學數學 · 7 年前

高一數學,求詳解!(急!20點!)

1.設a、b、c為整數,且x^4+ax^3+bx^2+cx+9=0之四根為相異之有理數,求a、b、c之值。

(1.是多項式的運算及應用)

2.設α為實數,令α、β為二次方程式x^2+ax+(a-2)=0的兩個根,試問當α為何值時,|α-β|有最小值?

3.設a、b是整數,且b不等於0,已知c=a/3+b‎√2i/3是實係數一元二次方程式x^2+kx+1=0的一個解,請問下列哪些選項是正確的?

(1)1/c是上述方程式的另一個解 (2)1/c=a/3-b‎√2i/3 (3)c+1/c=k

(4)k一定是整數 (5)a一定是奇數

4.設整係數方程式x^4+3x^3+bx^2+cx+10=0有四相異有理根,求此四根。

5.已知實係數多項式方程式x^3+ax+bx+8=0的三根相同,請問b的值等於下列何者?

(A)6 (B)8 (C)10 (D)12 (E)14

6.設三次方程式x^3-17x^2+32x-30=0有兩複數根a+i、1+bi,其中a、b是不為0的實數,試求它的實根。

(2.~6是多項式方程式(i、α、β等))

1.→a=0 b=-10 c=0

2.→2

3.→(1)(2)(5)

4.→1、-1、2、-5

5.→(D)

6.→15

這些是這六題的答案,但是沒有詳解Q_Q

這些章節的基本題我會,但這些我不知道該從何算起...

請數學強人幫忙!

2 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    1.因為a、b、c為整數 又方程式可能有理根為1、-1、3、-3、9、-9

    由根與係數可得:四根乘積為9,所以可得知此方程式四根為1、-1、3、-3

    得方程式=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)=x^4-10x^2+9,故a=0 b=-10 c=0

    2.|α-β|=‎√(α-β)^2(次方在根號裡面)

    由根與係數可得:α+β=-a,αβ=a-2

    (α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=a^2-4a+8

    a^2-4a+8=(a-1)^2+6,故當a=1時,|α-β|有最小值‎√6

    3.由根與係數可得:兩根乘積為1,而一根為c,故另一根為1/c。兩根相加為-k,所以(1)正確、(3)錯誤

    實係數方程式虛根必共軛成對,所以一根為a/3+b‎√2i/3,另一根必為a/3-b‎√2i/3,所以(2)正確

    由兩根乘積為1可得(a/3+b‎√2i/3)(a/3-b‎√2i/3)=1,a^2+2b^2=9,可找到有整數解為(1,2)

    在不失一般性的情況下,可令a=1、b=2代入,得k=-2/3 故(4)錯誤,(5)正確

    4.由根與係數可得四根之和為-3、四根乘積為10,又方程式可能有理根為1、-1、2、-2、5、-5、10、-10

    故可得四根為1、-1、2、-5

    5.三根相同,有三重根,所以方程式只有一種可能為(x+2)^3

    (x+2)^3展開得x^3+6x^2+12x+8,所以b=12

    6.因為方程式為實係數方程式,故虛根必共軛成對,所以a-i=1+bi,a=1、b=-1

    由根與係數可得三根之和為(1+i)+(1-i)+實根=17,2+實根=17,實根=15

    參考資料: 同為高一的我
  • 7 年前

    大大安安喔~

    雖然我不是數學強人((路過的~

    不過有些題我可以告訴你訣竅XDDD

    1.設a、b、c為整數,且x^4+ax^3+bx^2+cx+9=0之四根為相異之有理數,求a、b、c之值。

    (1.是多項式的運算及應用)

    Ans:

    x^4+ax^3+bx^2+cx+9=0 它說四根為相異 之有理數

    so 可設為(x-d)(x-e)(x-f)(x-g)=0((懂嗎?

    它不是有說常數項是9

    so (d x e x f x g)=9

    要等於9只有3 x -3 x1 x -1 = 9

    才能符合四根為相異之有理數

    在乘出來就能知道a b c d

    (2.)(3.)我不太了解 SORRY

    4.設整係數方程式x^4+3x^3+bx^2+cx+10=0有四相異有理根,求此四根。

    跟第一題是一樣的做法

    它的重點就是在常數項10

    不會做在跟我說喔~

    5.已知實係數多項式方程式x^3+ax+bx+8=0的三根相同 ,請問b的值等於下列何者?

    (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 (E)14

    看到三根相同 又是三次式

    就要知道是2的三次方才會等於8

    而且要+8 so 要3個+2

    (x+2)(x+2)(x+2)=0

    乘出來就知道了

    6.設三次方程式x^3-17x^2+32x-30=0有兩複數根a+i、1+bi,其中a、b是不為0的實數,試求它的實根。

    (2.~6是多項式方程式(i、α、β等))

    Ans: 你知道共軛複數嗎?

    z = a+ bi 為一複數,且a, b都為實數,則a稱作實部,b稱作虛部

    z的共軛複數為a - bi

    so a+i & 1+bi= 1+i & 1-i

    用x=1+i

    x-1=i

    (x-1)^2=(i)^2

    x-2x+2=0

    在用原式除我們剛得到的x-2x+2=0

    x^3-17x^2+32x-30/ x-2x+2

    出來就會是我們要求的

    我知道我說得很爛..OAO

    拜託別罵我..

    僅供參考喔...

    有問題在和我說吧

    參考資料: 高一的我
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