一題遞迴關係式,數學請教

題目為

S(0) = 0

S(n) = 3S(n-1)+3n

S(n) = 3S(n-1)+3n

= 9S(n-2)+9(n-1)+3n

= ...........

= 3^nS(n-n)+3^n(1)+3^(n-1)(2)+...+3^(2)(n-1)+3n

*= 3^n(1)+3^(n-1)(2)+...+3^(2)(n-1)+3n

*= 1/4*3^(n+2)-3/2n-9/4

答案如上,我想問的是上面打*號的這兩行

推導到星號為止我了解,但數學不好不知最後答案怎麼算出來的

希望有人可以幫我解釋一下,希望越清楚越好

在這邊先多謝了!!!

3 個解答

評分
  • sponge
    Lv 6
    7 年前
    最佳解答

    最近這系統真的濫用自動檢舉,回答程式語法者都很無辜

    在下認為應該是半形中括號或冒號等作祟

    所以底下回答貼看看,堅持不用中括號

    您 * 的第一條可寫成一般像的形式:

    3^n(1)+3^(n-1)(2)+...+3^(2)(n-1)+3n = Σ 3^i(n+1-i)

    註:Σ都是 i 從 1 到 n

    Σ的一般項分二種討論

    1. 3^i(n+1)

    Σ中變數是 i, 所以 (n+1) 可提出來:

    Σ 3^i(n+1)

    =(n+1)Σ 3^i

    =(n+1)(3+9+...+3^n), 用公比 3 的等比級數

    =(n+1)( 3^(n+1)-3 )/2

    2. Σ i*3^i

    此部分使用生成函數 (generating function) 的方式推導:

    1+x+...+x^n = Σ x^i = ( x^(n+1)-1 )/(x-1), 公比 x 的等比級數

    上式兩邊對 x 微分成

    1+2x+...+nx^(n-1) = Σ i*x^(i-1) = (n+1)x^n/(x-1) - ( x^(n+1)-1 )/(x-1)^2

    兩邊同乘以 x, 造出Σ i*x^i

    x+2x^2+...+nx^n = Σ i*x^i = (n+1)x^(n+1)/(x-1) - ( x^(n+2)-1 )/(x-1)^2

    x=3 即欲推導的結果

    因此拿以上結果簡化Σ 3^i(n+1-i)

    Σ 3^i(n+1-i)

    =( Σ 3^i(n+1) ) - Σ i*3^i

    =(n+1)( 3^(n+1)-3 )/2 - (n+1)3^(n+1)/2 + ( 3^(n+2)-1 )/2^2

    =3^(n+2)/4 - 3n/2 - 9/4

    希望以上回答對您有幫助!

    參考資料: 離散數學
  • 7 年前

    冏 我恨這系統... 動不動就違規 到底是哪個字眼...

  • Tai
    Lv 5
    7 年前

    Hi, 版主, 信寄給你了.

    由於不管貼答案或是意見都被違規,

    現在只能祈求信件不會違規

    今天又違規了 150 points.

    知識+ 的刪除系統這麼愛找級數運算的砸啊

    2013-11-25 19:50:37 補充:

    sponge 大的經驗收下了 - 半形中括號或冒號,謝謝下次試試看。

    看 sponge大的推導也很舒服 :)

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