小音 發問時間: 科學數學 · 7 年前

數學,數值分析

Show that the divided difference are linear maps,that is

( αf + βg ) [x0,x1,...,xn] = αf [x0,x1,...,xn] + βg [x0,x1,...,xn]

3 個解答

評分
  • sponge
    Lv 6
    7 年前
    最佳解答

    使用數學歸納法來證明:

    1. n=0

    根據 divided difference 定義,f[x0]=f(x0)

    所以

    ( αf + βg ) [x0]

    =αf(x0) + βg(x0)

    =αf[x0] + βg[x0]

    對其他項 x1, x2, ... 的 divided difference 也成立

    2. 令 n=k 時成立

    ( αf + βg ) [x0,x1,...,xk] = αf [x0,x1,...,xk] + βg [x0,x1,...,xk]

    此為對 x0~xk 成立,也對 x1~xk+1 成立

    3. 當 n=k+1

    ( αf + βg ) [x0,x1,...,xk+1]

    ={ ( αf + βg ) [x1,...,xk+1] - ( αf + βg ) [x0,...,xk] } / (xk+1 - x0)

    ={ ( αf[x1,...,xk+1] + βg[x1,...,xk+1] ) - ( αf[x0,...,xk] + βg[x0,...,xk] ) } / (xk+1 - x0)

    ={ ( αf[x1,...,xk+1] - αf[x0,...,xk] ) + ( βg[x1,...,xk+1] ) - βg[x0,...,xk] ) } / (xk+1 - x0)

    =αf[x0,x1,...,xk+1] + βg[x0,x1,...,xk+1]

    所以得証 divided difference 為 linear map

    而其實它可以展開到只有 f(x0), f(x1), ..., f(xn)

    所以擁有這種「線性」的特性

    希望以上回答對您有幫助!

  • 匿名使用者
    7 年前

    還是要去 http://aaashops.com/ 品質不錯,老婆很喜歡。

    倬哦呼係咉哚倠

  • 7 年前

    將αf + βg視為常數,[x0,x1,...,xn]視為矩陣,

    常數可直接乘入矩陣內。

    參考資料: 僅供參考
還有問題?馬上發問,尋求解答。