匿名使用者
匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 7 年前

問聯合機率的共變異數

一個X與Y的聯合密度函數為

fxy(x,y)=(8/3)xy 0<x<1 x<y <2x

求共變異數Cov(x,y)

請幫詳細計算 要有E(XY) 、E(X) 、E(Y)的計算過程

小的我算好久範圍不知怎麼取 拜托各位了

已更新項目:

板面太擠 fxy的範圍是 x在0跟1之間 y在x跟2x之間

1 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    拿掉 f 的下標, 以資簡化. (此處唯一個 p.d.f., 不需放下標做區分.)

    f(x,y) = (8/3)xy, 0<x<1, x<y<2x.

    首先檢查一下此式有無問題---這是解題時避免原題有誤或自己誤解題意

    的一個習慣.

    ∫_[0,1]∫_[x,2x] f(x,y) dydx = ∫_[0,1] [(4/3)xy^2]_[x,2x] dx

    把 (4/3)xy^2 的 y 分別代 y=2x 與 y=x, 再相減, 得 4x^3.

    ∫_[0,1] 4x^3 dx = 1.

    故 p.d.f. 無誤.

    再來用一個式子計算所有動差:

    E[X^r Y^s] = ∫_[0,1] ∫_[x,2x] (8/3) x^{1+r) y^{1+s} dy dx

    =∫_[0,1] (8/3)x^{1+r} ∫_[x.2x] y^{1+s} dy dx

    內層積分得

    [1/(2+s)]*{(2x)^{2+s} - x^{2+s}} = [(2^{2+s}-1)/(2+s)]*x^{2+s}

    因此, 得

    E[X^r Y^s] = ∫_[0,1] (8/3)*[(2^{2+s}-1)/(2+s)]*x^{3+r+s} dx

    = (8/3)*[(2^{2+s}-1)/(2+s)]/(4+r+s).

    代入 r, s, 求得 E[X], E[Y], E[X^2], E[XY] 及 E[Y^2], 再求得 Cov(X,Y).

    如需要求 X, Y 之 marginal p.d.f., f_1(x) = ∫_[x,2x] f(x,y) dy 這沒問題.

    而 Y 之 marginal p.d.f. f_2(y) 要把 f(x,y) 對 x 積分, 需在 given y 之下

    求 x 之範圍.

    0 < x < 1, 且 x < y < 2x. 後者變成 y/2 < x < y.

    又, 由以上條件知 0 < y < 2, 故可把 x, y 範圍改寫牟:

    0 < y < 2, y/2 < x < y.

    因此,

    f_2(y) = ∫_[y/2,y] f(x,y) dx

還有問題?馬上發問,尋求解答。