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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 7 年前

微積分數學求解

2X3-15X2+24X+3

求臨界數.漸增.漸減.凹凸性.反趨點和曲線圖形

(X+Y3)/(X-Y)=3

在點(2,1)

的直線方程式

Y3=Y的三次方

X3=X的三次方

2 個解答

評分
  • 哥哥
    Lv 5
    7 年前
    最佳解答

    f(x)=2x³-15x² 24x 3

    f '(x)=6x²-30x 24

    f ''(x)=12x-30

    一函數之極點,存在於其導函數之解,f '(x)=0,x=1或4,將1、4代入f(x)得y=14或-13

    故其極點各為(1, 14)、(4, -13)。

    一函數之反曲點,存在於其二階導函數之解,f ''(x)=0,x=30÷12=2.5,將2.5代入f(x)得y=0.5

    故其反曲點為(2.5, 0.5)。

    若一多項函數之領導係數(最高次係數)為正,其為漸增

    若其切線皆在曲線之下方(f ''(x)>0),則稱上凹(Concave upward)

    若其切線皆在曲線之上方(f ''(x)<0),則稱下凹(Concave downward)

    圖為f(x)=2x³-15x² 24x 3之圖形,其中紅色部分為下凹,綠色部分為上凹

    圖片參考:http://e.share.photo.xuite.net/redwhale/1e2d893/15...

    原式=x y³=3(x-y)²

    將該式微分得1 3y²y'=3-3y',解dy/dx

    得y'=2,將點(2, 1)代入得y'=1,其切線斜率亦即y'=13y² 333

    ,故所求之切線為x-3y=-1

  • 7 年前

    因為電腦不太好打所以我用寫的

    第一題

    當f'(x)>0的時候f(x)會遞增

    f'(x)求的是切線斜率

    畫畫看遞增的曲線 就會發現每個點的斜率都大於0

    反之則小於0

    f'(x)=0的時候就是臨界點(極值所在)

    f"(x)>0的時候指的是曲線在切線的上方 所以圖形會往上凹

    f"(x)<0則是指曲線在切線的的下方 圖形會往下凹

    等於0的時候就是反曲點 意思是圖形會由往上凹變成往下凹(或往下凹變成往上凹)

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AB02303338/o/2014011316...

    圖形因為是人工畫的有點不明顯- -

    不過應該還是稍微看得出來凹凸

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AB02303338/o/2014011316...

    第二題考的是隱微分的概念

    你可以先把y看成f(x)

    f(x)^3微分時要用到chain rule

    d f(x)^3 / dx = 3f(x)^2 × f'(x)

    這時把它換回y 就會變成圖片中那樣子

    (通常在算的時候不會這樣換啦 只是方便解釋~)

    把y'求出來之後 就可以算切點的斜率了

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AB02303338/o/2014011316...

    2014-01-14 03:59:13 補充:

    第二題寫太快沒注意...

    (3y^2+3)y'=2

    所以除過去y'=2/(3y^2+3) .......

    把(2,1)代入 得切線斜率= 2/(3+3) = 1/3

    → 直線方程式 : (y-1) = (x-2) / 3

    → x-3y = -1

    抱歉噢

    參考資料: 自己
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