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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 7 年前

證明:由 加法交換律 推導 加法結合律

假設 x ,y 為 R 集合中任意兩個元素,且 x + y = y + x (滿足交換律)

那麽我可以證明它們的加法也滿足結合律,即:

a + (b + c) = (a + b) + c (a, b, c∈R)

證明1:

a + (b + c) = b + c + a (*註1)

b + c + a = c + a + b (交換律,視 "b"為 x,"c + a"為 y)

c + a + b = a + b + c (交換律,視 "c"為 x,"a + b"為 y)

a + b + c =(a + b)+ c (*註2)

∴ a + (b + c) = (a + b) + c

註1:因爲運算次序是從左至右,而 "b + c" 有運算優先權,所以可以把它搬到式子最左邊的位置。

註2:由於 "a + b" 已經在最左邊,所以加個 "( )" 也不會影響運算次序。

------------------------------------------------ 分隔線 ------------------------------------------------

證明2:

令 X = b + c,Y= a + b, Z = a + b + c,則:

a + X = Z ......(1)

Y + c = Z ......(2)

(1) = (2) ⇒ a + X = Y + c

∴ a + (b + c) = (a + b) + c

這兩個證明應該都錯吧?

已更新項目:

這兩個證明的問題是看到了。

但是你們給的反例,總覺得有些矛盾卻又無懈可擊。

讓我再想想。

2 個解答

評分
  • sponge
    Lv 6
    7 年前
    最佳解答

    您列的二個證明的確都是錯的

    第一個證明錯的點在:

    b + c + a = c + a + b (交換律,視 "b"為 x,"c + a"為 y)

    b + c + a 優先權在 b + c

    但 b + (c + a) 才能進行這個交換

    第二個證明錯的點在:

    a + X = Z ......(1)

    Z 的優先權在 a + b; a + X 的優先權在 b + c

    這是要被證明的結果,證明完畢之前不可以當作事實

    另外以下是一個加法交換但無法結合的例子:

    集合中有 {a, b, c}, + 的定義為

    + a b c

    a - a c

    b - - b

    c - - -

    a + b 即左邊 a 上面 b 的位置,減號表示此不重要

    a + (b + c) = a + b = a

    (a + b) + c = a + c = c

    存在反例所以交換律並不 imply 結合律

    希望以上回答對您有幫助!

    2014-01-27 11:43:29 補充:

    那個反例的表寫的不太好,請參考意見大大列的較為完整

  • 7 年前

    反例:

    + a b c

    a a c b

    b c b a

    c b a c

    由對稱得交換律成立。然而

    (a+b)+c=c+c=c

    a+(b+c)=a+a=a

    故結合律不成立。

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