Yahoo奇摩知識+ 將於 2021 年 5 月 4 日 (美國東部時間) 終止服務。自 2021 年 4 月 20 日 (美國東部時間) 起,Yahoo奇摩知識+ 網站將會轉為唯讀模式。其他 Yahoo奇摩產品與服務或您的 Yahoo奇摩帳號都不會受影響。如需關於 Yahoo奇摩知識+ 停止服務以及下載您個人資料的資訊,請參閱說明網頁。

123
Lv 5
123 發問時間: 科學數學 · 7 年前

高一數學問題(多項式函數)

1.設a,b都是實數,且二次函數f(x)=a(x-1)^2+b滿足f(4)>0,f(5)<0,則f(1),f(0),f(-1),f(-2),f(-3),f(-4)的值中,哪些是正數,哪些是負數?

2.設a,b,c,d為實數,且2x^3+x+5=a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)+d(x-1)(x-2)(x-3),求a,b,c之值

3.設f(x)=x^10+x+1,試求:

(1)f(x)除以x-1的餘式

(2)f(x)除以x^2-1的餘式

4.設a為實數,若二次不等式(2a-3)x^2-2ax+(a+2)<0沒有實數解,求a的範圍?

5.設m為實數,二次式f(x)=mx^2+(m-1)x+(m-1)

(1)對任意實數x,f(x)>0恆成立,求m的範圍

(2)對任意實數x,f(x)<0恆成立,求m的範圍

解答:

1.正數:f(1),f(0),f(-1),f(-2) 負數:f(-3),f(-4)

2.a=8,b=15,c=12,d=2

3.(1)3 (2)x+2

4.a≧2

5.(1)m>1 (2)m<-1/3

請大家告訴我算式,題目有點多,給一題是一題,謝謝大家!

已更新項目:

謝謝:D

我4,5題都卡在忘記還有拋物線向上!

第五題會了

但第四題為何(2a-3)x²-2ax+(a+2)大於等於0呢?

1 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    1.先參考下圖

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AD07982684/o/2014012718...

    因為f(4) > 0 ,f(5) < 0,我們在平面座標上標出A點和B點為參考。又因f(x)=a(x-1)^2+b中顯示,對稱軸為x=1這條線,所以可畫出A的對稱點A'以及B的對稱點B'。

    如此就能判斷 f(1),f(0),f(-1),f(-2)為正,f(-3),f(-4)為負。

    2. 2x^3+x+5=a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)+d(x-1)(x-2)(x-3)

    以x=1代入

    2+1+5 = a +0 +0 +0

    a = 8

    以x=2代入

    16 + 2 +5 = 8 +b +0 +0

    b = 15

    以x=3代入

    54 +3 +5 = 8 +30 +2c +0

    c = 12

    最後左式最高次項為2x^3,右式最高次項是dx^3,

    所以 d = 2

    3.設f(x)=x^10+x+1,試求:

    (1)f(x)除以x-1的餘式

    (2)f(x)除以x^2-1的餘式

    (1).用餘式定理,f(x)除以x-1的餘式 = f(1)

    f(1) = 1^10 +1 +1 = 3

    (2).令 t = x^2

    f(x)除以x^2-1的餘式,即f(x)除以t-1的餘式,即以t=1代入的結果

    x^10 +x +1 = t +x +1

    上式以t=1代入得 x +2

    4. 若二次不等式(2a-3)x^2-2ax+(a+2)<0沒有實數解

    表示(2a-3)x^2-2ax+(a+2) ≧ 0

    所以有兩個重點:

    (1).拋物線開口向上

    2a -3 > 0 →a > 3/2

    (2).判別式 ≦ 0

    (-2a)^2 - 4(2a-3)(a+2) ≦ 0

    4a^2 - 4(2a^2 +a -6) ≦ 0

    除以4

    a^2 - (2a^2 +a -6) ≦ 0

    -a^2 -a +6 ≦ 0

    a^2 +a -6 ≧ 0

    (a+3)(a-2) ≧ 0

    a ≦ -3 or a ≧ 2

    綜合(1)(2)得 a ≧ 2

    5.設m為實數,二次式f(x)=mx^2+(m-1)x+(m-1)

    (1)對任意實數x,f(x)>0恆成立,求m的範圍

    (2)對任意實數x,f(x)<0恆成立,求m的範圍

    我希望這題由你自己練習看看,因為作法和上一題幾乎相同,不過我載這裡提示一下:

    (1) f(x)>0恆成立,就要使拋物線開口向上,且判別式小於0

    (2) f(x)<0恆成立,就要使拋物線開口向下,且判別式小於0

    若最後一題仍不會作,告訴我你仍然不懂的地方何在,我再繼續幫你補充回答!

    ^____^

    2014-01-27 22:56:14 補充:

    針對你的補充問題回答:

    因為題目說這個式子 < 0 沒有實數解,意思就是說這個式子 < 0 是不可能的

    也就是說,這個拋物線不可能出現在x軸的下方,也就是不可能出現在三、四象限

    也就是說拋物線上任一點的y值不是正的就是至少為0,也就是說,圖形最低點頂多切到x軸,其他的點都在x軸之上,也有可能連x軸都碰不到。既然這樣,這個式子就 ≧ 0 了。

    2014-01-27 22:58:47 補充:

    上面的怪字是 "大於等於"的意思

還有問題?馬上發問,尋求解答。