微積分考古題5(請高手幫忙看一下我的解答)

之前有位先進告訴我答案,我整理了一番,用自己的語言寫一次答案。請高手幫忙看一下,我的論證是否正確。多謝了!

圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01848228/o/2014021416...

[證明]:Uniformcontinuous的充要條件: For any e>0, there exists a d>0 such that

whenever |x-y|<d, x,y in [a,b], then |f(x)-f(y)|<e.假設|x-y|=d/2,x,yin(0,1)……(1)則|x-y|<d |f(x)- f (y)|=|1/x-1/y|=|(y-x)/xy|=|y-x|/xy(註:因為x、y均大於0,故可以去掉絕對值符號)=|x-y|/xy…(2)將(1)代入(2),可得| f (x)- f(y)|=d/2xy因為0<d<1,且0<y<1,當x趨近0+,則d/2xy(註:也就是| f (x)- f (y)|)會趨近無限大,無法小於某個數e。因此,f (x)=1/x在(0,1)並不會uniformly continuous█

5 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    他要證的是 "不為均勻連續".

    原則上這樣寫沒有錯, for any d > 0, |x-y| < d 且 x,y 均在指定範圍中, 但

    |f(x)-f(y)| 可以任意大.

    "不為均勻連續", 也就是 "均勻連續" 的否定, 就是:

    存在 e > 0, 使得對任意 d > 0, 都存在 x, y 在指定範圍中, 並滿足 |x-y| < d,

    但 |f(x)-f(y)| >= e.

    2014-02-16 09:08:49 補充:

    雖然說原則上這樣寫是把意思表達出來了, 不算錯. 但就考試而言, 建議還是

    中規中矩地寫出上述 "不為均勻連續" 的證據比較好. 也就是說, 如 1F 寫的,

    取一個 e > 0, 例如取 e=1, 證明對任意 d > 0 都找得到 x, y 在指定範圍內,

    滿足 |x-y| < d 而 |f(x)-f(y)| 超過 e.

    2014-02-17 11:45:10 補充:

    你的證明基本上是對的, 但可以稍做修改, 使其更清楚傳達你的意思.

    Uniformcontinuous的充要條件: For any e>0, there exists a d>0 such that

    whenever |x-y|<d, x,y in [a,b], then |f(x)-f(y)|<e.

    假設|x-y|=d/2,x,yin(0,1)……(1) ( 假設 d<1, 取 x, 0<x<1/2 後, 再取 y=x+d/2, 所以 0<y<1. )

    則|x-y|<d|f(x)- f (y)|=|1/x-1/y|=|(y-x)/xy|=|y-x|/xy(註:因為x、y均大於0,故可以去掉絕對值符號)=|x-y|/xy…(2)將(1)代入(2),可得| f (x)- f(y)|=d/2xy

    ( |f(x)-f(y)| = ... = |y-x|/(xy) = (d/2)/[x(x+d/2)] > d/(2x). ) 因為0<d<1,且0<y<1,當x趨近0+,則d/2xy(註:也就是| f (x)- f (y)|)會趨近無限大,無法小於某個數e。因此,f (x)=1/x在(0,1)並不會uniformly continuous█

    ( 對任意 d>0, 都可取 x 在 (0,1) 中, 使 d/(2x) 超過預定的 e. 也就是說,

    不管 d 取得多小, 都無法保證當 |x-y|<d 時 |f(x)-f(y)|<e, 即使 e 放得很

    寬. 故此例 f(x) 在 (0,1) 不是均勻連續. )

  • 匿名使用者
    7 年前

    到下面的網址看看吧

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  • 關於「狂風」所說的反證法,恰好是我不解之處。我另開一題,請教各位專家。請指教了!

  • sponge
    Lv 6
    7 年前

    請教版主,區間 (0, 1) 題目寫的是開區間的小括號嗎?

    1/x 只有在 x=0 才會無法定義,要是沒包含 0 應該仍可連續

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  • 7 年前

    這麼寫是可以且直觀,不過我認為直接證明它的否命題更為嚴謹與簡單,或是用反證法。

    let e=1, for any d<1 we could choose x=1/d and y=1/(d+2) such that f(y)-f(x)>e.

    Hence, the appropriate d for this e does not exist.

    However, uniformly continuous requiers "for all e, appropriate d exists", hence it is not uniformly continuous.

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